2024年中考数学精选压轴题之项目式学习探究(一)-在线组卷题库

1. 【项目式学习】

项目主题：守护生命，“数”说安全．

项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．

(1)、任务一：考察测量

如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，则AB＝m；

(2)、任务二：模拟探究

如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．

创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：

①当CD＜2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道；

②当CD＝2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，∠ADC的度数是；③当CD＞2AB时，线段CD不能通过直角弯道．

(3)、如图3，创新小组用矩形PQMN模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道．若PQ＝am，PN＝2m，且矩形PQMN能通过该直角弯道，求a的最大整数值．

(4)、任务三：成果迁移

如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线OA上，两边分别与x轴，y轴平行，OA＝2m，AB＝4 $\sqrt{2}$ m．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为bm，宽为2m的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为．（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.4， $\sqrt{3}$ ≈1.7， $\sqrt{5}$ ≈2.2， $\sqrt{7}$ ≈2.6）

问题背景	吴兴区某学校决定在校内开辟劳动实践基地，现向全校师生征集实践基地的设计方案．学校项目化学习小组根据学校要求完成了初步设计，请跟随小组成员共同完成以下任务．
素材一	项目化学习小组通过初步研讨，计划利用学校现成的一堵“L”型墙面和栅栏围成长方形的劳动实践基地BFED，其中粗线A-B-C表示墙面，已知AB⊥BC，AB＝2米，BC＝6米.初步设计方案有两种：如图①，点D在线段BC上；如图②，点D在线段BC的延长线上（包括点C）．
素材二	通过查询学校现有物资信息，学校仓库可提供栅栏的总长度为10米.项目化学习小组决定将这10米栅栏全部用于劳动实践基地中.
素材三	经过市场调查，建造劳动实践基地的人工和材料费合计为25元/平方米.

自制杆秤
背景素材	有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤．如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得： $(m_{0} + m) \times l = M \times (a + y)$ ．其中秤盘质量m₀克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米.
	设计简易杆秤要求：设定m₀=10，M=50，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
问题解决
任务一	确定 $l$ 和 $a$ 的值	⑴当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $l$ ， $a$ 的方程． ⑵当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于 $l$ ， $a$ 的方程． ⑶根据（1）和（2）所列方程，求出 $l$ 和 $a$ 的值．
任务二	确定刻线的位置	⑷根据任务一，求y关于m的函数解析式． ⑸从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．

项目	测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量工具	测角仪、皮尺等
测量		说明：点 $Q$ 为古塔底面圆圆心，测角仪高度 $A B = C D = 1.5 m$ ，在 $B 、 D$ 处分别测得古塔顶端的仰角为 $32 ° 、 45 ° ， B D = 9 m$ ，测角仪 $C D$ 所在位置与古塔底部边缘距离 $D G = 12.9 m$ ．点 $B 、 D 、 G 、 Q$ 在同一条直线上．
参考数据	$s i n 32 ° \approx 0.530 ， c o s 32 ° \approx 0.848 ， t a n 32 ° \approx 0.625$

项目主题	“亚运主题”草坪设计
项目情境	为了迎亚会，同学们参与一块长为40米，宽为30米的矩形“亚运主题”草坪方案设计的项目学习．以下为项目学习小组对草坪设计的研究过程．
活动任务一	请设计两条相同宽度的小路连接矩形草坪两组对边．小组内同学们设计的方案主要有甲、乙、丙、丁四种典型的方案
驱动问题一	（1）项目小组设计出来的四种方案小路面积的大小关糸？ ①直观猜想：我认为 ▲ ；（请用简洁的语言或代数式表达你的猜想） ②具体验证：选择最简单的甲、乙方案，假设小路宽为1米，则甲、乙方案中小路的面积分别为 ▲ 和 ▲ ； ③一般验证：若小路宽为x米，则甲、乙方案中小路所占的面积分别为 ▲ 和 ▲ ．
活动任务二	为施工方便，学校选择甲种方案设计，并要求除小路后草坪面积约为1064平方米．
驱动问题二	（2）请计算两条小路的宽度是多少？
活动任务三	为了布置五环标志等亚运元素，将在草坪上的亚运宣传主题墙前，用篱笆围（三边）成面积为100平方米的矩形 $A B C D$ ，如图．
驱动问题三	（3）为了使篱笆恰好用完同时围住三面，项目小组的同学对下列问题展开探究，其中矩形宽 $A B = x$ ，长 $B C = y$ ． ①若30米长的篱笆，请用两种不同的函数表示y关于x的函数关系． ②数学之星小明提出一个问题：若a米长的篱笆恰好用完，且有两种不同方案可以选择，使得两种方案的宽之和小于15米，甲同学说“篱笆的长可以是28米”，乙同学说“篱笆的长可以是32米”，你认为他们俩的说法对吗？请说明理由．

	方案一		方案二		…
测量工具	标杆，皮尺		自制直角三角板硬纸板，皮尺		…
测量示意图	说明：线段AB表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离CD＝1.7m，测点F与B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上．		说明：线段AB表示旗杆，小明的身高CD＝1.7m，测点D与B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，点A，C，E三点在同一直线上，点C，F，G三点在同一直线上．
测量数据	B，D之间的距离	16.8m	B，D之间的距离	16.8m	…
	D，F之间的距离	1.35m	EF的长度	0.50m	…
	EF的长度	2.60m	CE的长度	0.75m	…
…	…

水平距离 $x / m$	$0$	$2$	$4$	$5$	$6$	$8$	$9$
竖直高度 $x / m$	$2$	$3.2$	$3.6$	$3.5$	$3.2$	$2$	$1.1$

素材1	利用一边长为 $40 c m$ 的正方形纸板可能设计成如图所示的无盖纸盒
素材2	如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，将剩余部分折成一个无盖纸盒．
【尝试解决问题】
任务1	初步探究：折一个底面积为 $484 c m^{2}$ 无盖纸盒	（1）求剪掉的小正方形的边长为多少？
任务2	折成的无盖纸盒的侧面积是否有最大值？	（2）如果有，求出这个最大值和此时剪掉的小正方形的边长；如果没有，说明理由．

生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材	数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．

	甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA ，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．	乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F ，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
	丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1	获取数据	丁小组测量得喷头的高 $O A = \frac{2}{3}$ 米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点 $(7, \frac{5}{4})$ ．
	解决问题	求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2	获取数据	丁小组测树叶F距水平地面最低高度 $E F = \frac{13}{6}$ 米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF ．
	解决问题	求OE的长．
任务3	推理计算	丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时DD^'的长．

项目主题	桥梁模型的承重试验
活动目标	经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题	当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计	工具	桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
	实物图展示
	示意图	状态一（空水桶）	状态二（水桶内加一定量的水）

		说明：C为 $A B$ 的中点
…	…

项目	内容
课题	测量学校附近楼房的高度
测量示意图			说明：测点D、E与点C、B都在同一水平面上
测量数据	测量项目	第一次		第二次	平均值
	仰角 $∠ A D M$ 的度数	30.2°		29.8°	30°
	仰角 $∠ A E B$ 的度数	60.1°		59.9°	60°
	$C$ 、 $E$ 之间的距离	5.1米		4.9米	5米
	$C$ 、 $D$ 之间的距离	9.8米		10.2米
…	…

道路	长度（米）
AE	40
AB	30
BC	30
BF	18
EF	32
DE	25

2024年中考数学精选压轴题之项目式学习探究(一)

一、实践探究题