2024年中考数学精选压轴题之二次函数(二)

试卷更新日期：2024-05-13 类型：三轮冲刺

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一、综合题

1. 如图，直线 $y = - x + 4$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ 的抛物线经过 $B ， C$ 两点，交 $x$ 轴负半轴于点 $A$ ． $P$ 为抛物线上一动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $M$ ，作 $x$ 轴的垂线 $P N$ ，垂足为 $N$ ，直线 $M N$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若 $0 < m < \frac{3}{2}$ ，当 $m$ 为何值时，四边形 $C D N P$ 是平行四边形？

(3)、若 $m < \frac{3}{2}$ ，设直线 $M N$ 交直线 $B C$ 于点 $E$ ，是否存在这样的 $m$ 值，使 $M N = 2 M E$ ？若存在，求出此时 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ （ $a \neq 0$ ）与x轴交于点 $A (1, 0)$ 和点B ，与y轴交于点C ，对称轴为 $x = \frac{5}{2}$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，若点P是线段 $B C$ 上的一个动点（不与点B ， C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q ，连接 $O Q$ ．当线段 $P Q$ 长度最大时，判断四边形 $O C P Q$ 的形状并说明理由；

(3)、如图2，在（2）的条件下，D是 $O C$ 的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E ，且 $∠ D Q E = 2 ∠ O D Q$ ．在y轴上是否存在点F ，使得 $△ B E F$ 为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

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3. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - (2 a - \frac{3}{4}) x + 3$ 的图象经过点A(4，0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m，0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．

(1)、求a的值和直线AB的解析式；

(2)、过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S₁ ， S₂ ，若S₁=4S₂ ，求m的值；

(3)、点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱ $D E G H$ 周长取最大值时，求点G的坐标．

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4. 如图，直线 $y = - x - 4$ 分别交x轴，y轴于A ， C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线 $y = \frac{1}{5} x^{2} + b x + c$ 过A ， B ， C三点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、过点B作 $B D ∥ A C$ 交y轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P为直线 $A C$ 下方抛物线上的一动点，连接 $P D$ 交 $A C$ 于点E ，连接 $E B$ ，求 $S_{△ P E B}$ 的最大值及最大值时点P的坐标；

(3)、如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线 $y = - 2 x$ 与新抛物线交于O ， G两点，点H是线段 $O G$ 的中点，过H作直线 $R Q$ （不与 $O G$ 重合）与新抛物线交于R ， Q两点，点R在点Q左侧．直线 $G R$ 与直线 $O Q$ 交于点T ，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．

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5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 交x轴于A(-1，0)， B(3，0)两点，交y轴于点 C.

(1)、求二次函数解析式；

(2)、如图1，若在x轴上方的抛物线上存在一点 D，使得 $∠ A C D = 45 °,$ ，求点 D 的坐标；

(3)、如图2，平面上一点 E(3，2)，过点E 作任意一条直线交抛物线于 P、Q两点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，则OM与ON的积是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

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6. 如图，抛物线 $y = a x_{}^{2} + b x + 4 (a \neq 0)$ 与x轴交于点A（ $- 1$ ， 0）和点B（4，0），与y轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ， BC ， BC与抛物线的对称轴l交于点E

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ， PC ，若 $S_{Δ P B C}^{} = \frac{3}{5} S_{Δ A B C}^{}$ ，求点P的坐标；

(3)、点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M ，使得以点M ， N ， E为顶点的三角形与 $Δ O B C$ 相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由。

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7. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与x轴交于 $A (1 ， 0)$ 、 $B (5 ， 0)$ 两点，点D是抛物线上横坐标为6的点．点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线 $A D$ 交于点 $Q$ ，过点Q作 $Q F$ 垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且 $Q F = 2$ ，以 $Q F$ 、 $Q P$ 为邻边作矩形 $Q P E F$ ．设矩形 $Q P E F$ 的周长为 $d$ ，点 $P$ 的横坐标为m ．

(1)、求这条抛物线所对应函数表达式．

(2)、求这条抛物线的对称轴将矩形 $Q P E F$ 的面积分为1：2 两部分时m的值．

(3)、①求d与m之间的函数关系式，
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．

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8. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b$ 与 $x$ 轴交于A、B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标是 $(0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点 $P$ 是第四象限内抛物线上一点，连接PB交 $y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ，线段CE的长为 $d$ ，求 $d$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并直接写出自变量 $t$ 的取值范围；

(3)、如图3，点 $D$ 是第三象限内抛物线上一点，连接PD交 $y$ 轴于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B P$ 于点 $H$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接AD交BP于点 $N$ ，连接MN，若 $E F = \frac{d}{2}$ ， $∠ B N D = ∠ A N M$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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9. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于 $A (- 4 ， 0) ， B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的函数解析式．

(2)、点 $D$ 在线段 $O A$ 上运动，过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线，与 $A C$ 交于点 $Q$ ，与抛物线交于点 $P$ ，连接 $A P ， C P$ ，求四边形 $A O C P$ 的面积的最大值．

(3)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $M$ ，使得以点 $A ， C ， M$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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10. 已知抛物线y＝ax²+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B ，与y轴交于点C ，点P为第二象限内抛物线上的动点．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，连接OP交BC于点D ，当S_△_CPD：S_△_BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；

(3)、如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE ，若∠PEG＝2∠OGE ，请求出点P的坐标；

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11. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点 A（-3，0）和点B（1，0），顶点为D.直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（-2，-3）.

(1)、求抛物线和直线l的函数表达式.

(2)、直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t.
①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；
②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？

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12. 学习了二次函数后，我们发现抛物线的形状由二次函数的二次项系数决定．已知抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）．

(1)、如图1，将抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A^'恰好在x轴上，求抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4的对称轴及a的值；

(2)、如图2，抛物线y＝ax²﹣4ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B；过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞2）交于P ， C两点，与图象“G”交于点D ．
①当 $a = \frac{1}{3}$ 时，求证：PC＝CD；
②当a≠1时，请用合适的式子表示 $\frac{P C}{P D}$ （直接写结果）．

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13. 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + 4$ 的图象与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、已知 $E$ 为抛物线上一点， $F$ 为抛物线对称轴 $l$ 上一点，以 $B$ ， $E$ ， $F$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且 $∠ B F E = 90 °$ ，求出点 $F$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ， $P$ 为第一象限内抛物线上一点，连接 $A P$ 交 $y$ 轴于点 $M$ ，连接 $B P$ 并延长交 $y$ 轴于点 $N$ ，在点 $P$ 运动过程中， $O M + \frac{1}{2} O N$ 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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14. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b$ 与 $x$ 轴交于A、B两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标是 $(2 ， 0)$ ，点 $C$ 的坐标是 $(0 ， 4)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，点 $P$ 是第四象限内抛物线上一点，连接 $P B$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，设点 $P$ 的横坐标为，线段 $C E$ 的长为d ，求d与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；

(3)、如图3，点 $D$ 是第三象限内抛物线上一点，连接 $P D$ 交 $y$ 轴于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $D M ⊥ B P$ 于点 $H$ ，交 $x$ 轴于点 $M$ ，连接 $A D$ 交 $B P$ 于点 $N$ ，连接 $M N$ ，若 $E F = \frac{d}{2}$ ， $∠ B N D = ∠ A N M$ 时，求点 $P$ 的坐标．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (2, 0)$ 和点 $B (4, 0)$ ，直线 $l$ 是对称轴.

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、在直线 $l$ 上是否存在点 $C$ ，使 $∠ A C B = 45 °$ ？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、 $P$ 为第一象限内抛物线上的一个动点，且在直线 $l$ 右侧，连接 $P A$ ， $P B$ ，过点 $P$ 作 $P M ⊥ l$ ，垂足为 $M$ ，以点 $M$ 为圆心、作半径为 $r$ 的圆， $P T$ 与 $⊙ M$ 相切，切点为 $T$ .若 $P T^{2} = S_{△ P A B}$ ，且 $⊙ M$ 不经过点 $(3, 3)$ ，求 $P M$ 长的取值范围.

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16. 如图1，在平面直角坐标系

x O y

中，抛物线

y = a x^{2} + b x + c

与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点

(x ， y)

的坐标值：

x	…	$- 1$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…

(1)、求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；

(2)、

P Q

是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求

A Q + Q P + P C

的最小值；

(3)、如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作

D F ⊥ x

轴，垂足为F，

△ A B D

的外接圆与

D F

相交于点E.试问：线段

E F

的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

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17. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (- 1, 0), B (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、如图1，点 $P$ 是抛物线的对称轴 $l$ 上的一个动点，当 $△ P A C$ 的周长最小时，求 $\frac{P A}{P C}$ 的值；

(3)、如图2，取线段 $O C$ 的中点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使 $t a n ∠ Q D B = \frac{1}{2}$ ？若存在，直接写出 $Q$ 点坐标．

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18. 如图，直线 $y = x - 3$ 与x轴、y轴分别交于点B、点C ，经过B ， C两点的抛物线 $y = - x^{2} + m x + n$ 与x轴的另一个交点为A ，顶点为P ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使以C ， P ， Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)、将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的图象，若直线 $y = x + b$ 与该“M”形状的图象部分恰好有三个公共点，求b的值。

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19. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + \frac{5}{4}$ 与x轴相交于 $A (\frac{1}{2}, 0)$ 、 $B (\frac{5}{2}, 0)$ 两点，与y轴交于点C ，连接BC ，抛物线顶点为点M ．

(1)、直接写出a ， b的值及点M的坐标；

(2)、点N为抛物线对称轴上一点，当 $A N + C N$ 最小时，求点N的坐标；

(3)、平移直线BC得直线 $y = m x + n$ ．
①如图2，若直线 $y = m x + n$ 过点M ，交x轴于点D ，在x轴上取点 $E (\frac{7}{6}, 0)$ ，连接EM ，求∠DME的度数．
②把抛物线 $y = a x^{2} + b x + \frac{5}{4}$ 在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象（如图3）．当直线 $y = m x + n$ 与新图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围．

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20. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (4, 0)$ ， $C (- 1, 0)$ 两点，于 $y$ 轴交于点 $B$ ， $P$ 为第一象限抛物线上的动点，连接 $A B$ ， $B C$ ， $P A$ ， $P C$ ， $P C$ 与 $A B$ 相交于点 $Q$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设 $△ A P Q$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B C Q$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} - S_{2} = 5$ 时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、是否存在点 $P$ ，使 $∠ P A B + ∠ C B O = 45 °$ ，若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

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21. 如图，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，－3)．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图1，点P是抛物线上位于第四象限内一动点，PD⊥BC于点D ，求PD的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，点E是抛物线的顶点，点M是线段BE上的动点(点M不与B重合)，过点M作MN⊥x轴于N，是否存在点M，使△CMN为直角三角形?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax²+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝ $4 \sqrt{2}$ ，设点F（m ， 0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．

(1)、求抛物线C的函数表达式；

(2)、若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
①抛物线C'的解析式为 ▲（用含m的关系式表示）；
②求m的取值范围；

(3)、如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

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23. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 5$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C, A B = 4$ ．抛物线的对称轴 $x = 3$ 与经过点 $A$ 的直线 $y = k x - 1$ 交于点 $D$ ，与 $x$ 轴交于点 $E$ ．

(1)、求直线 $A D$ 及抛物线的表达式；

(2)、在抛物线上是否存在点 $M$ ，使得 $△ A D M$ 是以 $A D$ 为直角边的直角三角形?若存在，请直接写出所有点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)、以点 $B$ 为圆心，画半径为2的圆，点 $P$ 为 $⊙ B$ 上一个动点，请求出 $P C + \frac{1}{2} P A$ 的最小值．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B (- 6, 0)$ 和点 $C (2, 0)$ ，点 $Q$ 在第一象限的拋物线上，连接 $A B 、 A Q 、 B Q$ ， $B Q$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ．

(1)、求拋物线表达式；

(2)、点 $Q (1, \frac{7}{3})$ ，点 $M$ 在 $x$ 轴上，点 $E$ 在平面内，若 $△ B M E ≌ △ A O M$ ，且四边形 $A N E M$ 是平行四边形．
①求点 $E$ 的坐标；
②设射线 $A M$ 与 $B N$ 相交于点 $P$ ，交 $B E$ 于点 $H$ ，将 $△ B P H$ 绕点 $B$ 旋转一周，旋转后的三角形记为 $△ B P_{1} H_{1}$ ，求 $B P_{1} + \sqrt{2} O H_{1}$ 的最小值．

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