2024年中考数学精选压轴题之圆(二)

试卷更新日期：2024-05-12 类型：三轮冲刺

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一、实践探究题

1. 已知点 $A$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 是 $⊙ O$ 上的四个点，且弦 $E B > B F$ ， $A M ⊥ E B$ 于点 $M$ .

(1)、如图1，点 $A$ 是 $\overset{⌢}{E B F}$ 的中点，在探究 $E M$ ， $B M$ ， $B F$ 之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在 $E B$ 上截取 $E C = B F$ ，连结 $A C$ ，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.

(2)、如图2， $△ A E F$ 是等边三角形，若 $A E = 20$ ， $∠ A E B = 45 °$ ，利用（1）的结论，求 $△ B E F$ 的周长.

(3)、如图3，若 $∠ E B F = 58 °$ ， $E B = 25$ ， $F B = 19$ ， $B M = 3$ ，连结 $E A$ ，求 $∠ A E F$ 的度数.

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2. 综合探究
如图1， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $P$ 是 $⊙ O$ 上的一点，连接 $A P$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，点 $N$ 在 $A M$ 上，满足 $∠ A N B - ∠ B N P = ∠ A C B$ ， $N Q ∥ A C$ 交 $B C$ 于点 $Q$ ， $B M = N Q$ ，连接 $B P, P Q$ ．

(1)、求证： $P B = P N$ ．

(2)、求证： $△ B P M ≌ △ N P Q$ ．

(3)、如图2， $A P$ 为 $⊙ O$ 的直径，设 $∠ A C B = α$ ，当 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为2时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长．

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3. 【定义新知】
如图1， $C ， D$ 是 $⊙ O$ 上两点，且在直径 $A B$ 的上方，若直径 $A B$ 上存在一点 $P$ ，连接 $C P 、 D P$ ，满足 $∠ A P C = ∠ B P D$ ，则称 $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”．

(1)、【问题探究】如图2， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C E ⊥ A B ， D$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 上的一点，连接 $D E$ 交 $A B$ 于点 $P$ ，连接 $C P$ ．
① $∠ C P D$ 是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”吗？请说明理由；
②设 $\overset{⌢}{C D}$ 所对的圆心角为 $n$ ，请用含 $n$ 的式子表示 $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”的度数；

(2)、【拓展延伸】如图3，在（1）的条件下，若直径 $A B = 10$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 的“幸运角”为 $90 °$ ， $D E = 8$ ，求 $C E$ 的长．

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4. 综合与实践
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、 $B$ 、 $C$ 在半径为 $1$ 的 $⊙ O$ 上静止不动，第四只蚂蚁 $P$ 在 $⊙ O$ 上的移动，并始终保持 $∠ A P C = ∠ C P B = 60 °$ ．

(1)、请判断 $△ A B C$ 的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论： $△ A B C$ 是三角形；

(2)、“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁 $P$ 在 $⊙ O$ 上的移动时，线段 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系： ▲ ，并加以证明；

(3)、“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁 $M$ 同时随着蚂蚁 $P$ 的移动而移动，且始终位于线段 $P C$ 的中点，在这个运动过程中，线段 $B M$ 的长度一定存在最小值，请你求出线段 $B M$ 的最小值是（不写解答过程，直接写出结果）．

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5. 如图

(1)、课本再现：如图1， $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的一个外角，写出 $∠ A C D$ 与 $∠ A$ ， $∠ B$ 的数量关系

(2)、类比探究：如图2， $B C$ 是 $△ A C B$ 与 $△ E C B$ 的公共边， $∠ A C B = ∠ B C E = α$ ， $∠ A B E = 180 ° - α$ ．
① $∠ A C E$ 与 $∠ A B E$ 的数量关系是 ▲ ；
②求证 $B C^{2} = A C \cdot C E$

(3)、拓展应用：如图3，点D是正方形 $A B C O$ 内一点，且在以O 为圆心， $O A$ 为半径的圆弧上，若 $∠ A D B = 90 °$ ， $A B = \sqrt{5}$ ，直接写出线段 $D C$ 的长.

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6. 如图1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，点P在半径OB上，连接AP ．

(1)、把△AOP沿AP翻折，点O的对称点为点Q ．
①当点Q刚好落在弧AB上，求弧AQ的长；
②如图2，点Q落在扇形AOB外，AQ与弧AB交于点C ，过点Q作QH⊥OA ，垂足为H ，
探究OH、AH、QC之间的数量关系，并说明理由；

(2)、如图3，记扇形AOB在直线AP上方的部分为图形W ，把图形W沿着AP翻折，点B的对称点为点E ，弧AE与OA交于点F ，若OF＝2，求PO的长．

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7. 【我们画不出一个完美的圆，但完美的圆是存在的，虽不能至，心向往之 $— —$ 罗翔】已知四边形 $A B C D$ 是半径为 $\sqrt{2} ⊙ O$ 的内接四边形，弦 $A B$ 的长度是 $2$ ，点 $P$ 是劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一个动点．

(1)、填空： $∠ A O B$ 的度数是，并判断平行四边形 $A B C D$ 是否会是正方形 $($ 填“是”或“不是” $)$ ；

(2)、如图 $1$ ，若点 $E$ 是弦 $B P$ 的中点，连接 $O E$ ， $O P$ ，当点 $P$ 沿着劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 从点 $A$ 开始，顺时针运动到点 $B$ 时，求 $△ O P E$ 的外心 $K$ 所经过的路径的长度；

(3)、如图 $2$ ，点 $Q$ 是劣弧 $\overset{⌢}{A D}$ 另一个动点，并始终满足 $∠ P C Q = \frac{1}{2} ∠ A O B$ ， $C P$ 、 $C Q$ 分别交弦 $A B$ ， $A D$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $M N$ 记 $△ C D N$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ C B M$ 的面积为 $S_{2}$ ， $△ C M N$ 的面积为 $S$ ．
$①$ 直接写出 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S$ 之间的数量关系； $($ 不必进行证明 $)$
$②$ 令 $D N = a$ ， $B M = b$ ，若满足 $2 S_{1}^{2} + S_{1} S - 2 S_{2}^{2} = 0$ ，求 $a$ ， $b$ 的值．

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8. 小辉同学观看2022卡塔尔世界杯时发现，优秀的球员通常都能选择最优的点射门（仅从射门角度大小考虑）．这引起了小辉同学的兴趣，于是他展开了一次有趣的数学探究．

【提出问题】如图所示．球员带球沿直线 $B C$ 奔向球门 $P Q$ ，

探究：是否存在一个位置，使得射门角度最大．

【分析问题】因为线段 $P Q$ 长度不变，我们联想到圆中的弦和圆周角．

如图1，射线 $B C$ 与 $⊙ O$ 相交，点M，点A，点N分别在圆外、圆上、圆内，连接 $N P ， N Q ， A P ， A Q ， M P ， M Q$ ．

【解决问题】

(1)、如图1，比较 $∠ P M Q 、 ∠ P A Q 、 ∠ P N Q$ 的大小：（用“<”连接起来）．

(2)、如图2，点A是射线 $B C$ 上一动点（点A不与点B重合）．证明：当 $△ A P Q$ 的外接圆 $⊙ O$ 与射线 $B C$ 相切时， $∠ P A Q$ 最大．

(3)、【延伸拓展】在（2）的条件下，如果 $P Q = 4 ， P B = 5 ， t a n B = 2$ ．当 $∠ P A Q$ 最大时．证明： $∠ P A Q = 90 ° - ∠ B$ ．

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9.

(1)、【证明体验】
如图1，⊙O是等腰△ABC的外接圆，AB＝AC ，在 $\hat{A C}$ 上取一点P ，连结AP ， BP ， CP ．求证：∠APB＝∠PAC+∠PCA；

(2)、【思考探究】
如图2，在（1）条件下，若点P为 $\hat{A C}$ 的中点，AB＝6，PB＝5，求PA的值；

(3)、【拓展延伸】
如图3，⊙O的半径为5，弦BC＝6，弦CP＝5，延长AP交BC的延长线于点E ，且∠ABP＝∠E ，求AP•PE的值．

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10. 如图1， $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的中线 $A M = A C$ ，延长 $A M$ 交 $△ A B C$ 的外接圆于点 $D$ ，过点 $D$ 作DE $∥$ BC交圆于点 $E$ ，延长 $E D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连结 $C E$ .

(1)、【特殊尝试】若 $∠ A C B = 60^{\circ}$ ， $B C = 4$ ，求 $M D$ 和 $D F$ 的长；

(2)、【规律探索】
①求证： $B C = 2 C E$ ；

②设 $tan ∠ A C B = x$ ， $\frac{F B}{A B} = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式：

(3)、【拓展应用】
如图2，作 $N C ⊥ A C$ 交线段 $A D$ 于 $N$ ，连结 $E N$ ，当 $△ A B C$ 的面积是 $△ C E N$ 面积的6倍时，求 $tan ∠ A C B$ 的值.

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11. 阅读资料：如图1，在平面之间坐标系 $x O y$ 中， $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，由勾股定理得 $A B^{2} = {| x_{2} - x_{1} |}^{2} + {| y_{2} - y_{1} |}^{2}$ ，所以 $A$ ， $B$ 两点间的距离为 $A B = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ．我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图2，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (x ， y)$ 为圆上任意一点，则 $A$ 到原点的距离的平方为 $O A^{2} = {| x - 0 |}^{2} + {| y - 0 |}^{2}$ ，当 $⊙ O$ 的半径为 $r$ 时， $⊙ O$ 的方程可写为： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ ．
问题拓展：如果圆心坐标为 $P (a ， b)$ ，半径为 $r$ ，那么 $⊙ P$ 的方程可以写为 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ．

综合应用：如图3， $⊙ P$ 与 $x$ 轴相切于原点 $O$ ， $P$ 点坐标为 $(0 ， 6)$ ， $A$ 是 $⊙ P$ 上一点，连接 $O A$ ，使 $t a n ∠ P O A = \frac{3}{4}$ ，作 $P D ⊥ O A$ ，垂足为 $D$ ，延长 $P D$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ，连接 $A B$ ．

(1)、求证 $A B$ 是 $⊙ P$ 的切线；

(2)、是否存在到四点 $O$ ， $P$ ， $A$ ， $B$ 距离都相等的点 $Q$ ？若存在，求 $Q$ 点坐标，并写出以 $Q$ 为圆心，以 $O Q$ 为半径的 $⊙ O$ 的方程；若不存在，说明理由．

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12. 阅读材料，某个学习小组成员发现：在等腰 $△ A B C$ 中，AD平分 $∠ B A C$ ， ∵ $A B = A C$ ， $B D = C D$ ， ∴ $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ ，他们猜想：在任意 $△ A B C$ 中，一个内角角平分线分对边所成的两条线段与这个内角的两边对应成比例.
【证明猜想】如图1所示，在 $△ A B C$ 中，AD平分 $∠ B A C$ ，求证： $\frac{A B}{A C} = \frac{B D}{C D}$ .
丹丹认为，可以通过构造相似三角形的方法来证明；
思思认为，可以通过比较 $△ A B D$ 和 $△ A C D$ 面积的角度来证明.

(1)、请你从上面的方法中选择一种进行证明.

(2)、【尝试应用】如图2， $⊙ O$ 是 $R t △ A B C$ 的外接圆，点E是 $⊙ O$ 上一点（与B不重合，且 $A B = A E$ ，连结 $A E$ ，并延长AE，BC交于点D，H为AE的中点，连结BH交AC于点G，求 $\frac{H G}{G B}$ 的值.

(3)、【拓展提高】如图3，在（2）的条件下，延长 $B H$ 交 $⊙ O$ 于点F，若 $B E = E F$ ， $G H = x$ ，求 $⊙ O$ 的直径（用x的代数式表示）.

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二、综合题

13. 如图1，直线 $l : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $G (- 4 \sqrt{3}, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $H$ ，点 $A$ 是线段 $O G$ 上一动点 $(0 < G A < 6)$ .以点 $G$ 为圆心， $G A$ 长为半径作 $⊙ G$ 交 $x$ 轴于另一点 $B$ ，交直线 $l$ 于点 $C$ 和点 $D$ ，连接 $O C$ 并延长交 $⊙ G$ 于点 $E$ .

(1)、如图1， $b =$ ， $∠ O G H =$ ；

(2)、如图2，连接 $A C$ ，当 $A C = C E$ 时，求证： $△ O A C ∽ △ O C G$ ；

(3)、当点 $A$ 在线段 $O G$ 上运动时，求 $O C \cdot C E$ 的最大值.

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14. 如图1，E点为x轴正半轴上一点， $⊙ E$ 交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上一个动点，且 $A (- 1 ， 0)$ 、 $E (1 ， 0)$ ．

(1)、 $\overset{⌢}{B C}$ 的度数为 $°$ ；

(2)、如图2，连结 $P C$ ，取 $P C$ 中点G，连结 $O G$ ，则 $O G$ 的最大值为；

(3)、如图3，连接 $A C$ 、 $A P$ 、 $C P$ 、 $C B$ ．若 $C Q$ 平分 $∠ P C D$ 交 $P A$ 于Q点，求 $A Q$ 的长；

(4)、如图4，连接 $P A$ 、 $P D$ ，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证： $\frac{P C + P D}{P A}$ 为定值，并求出这个定值．

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15. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C$ 为直径，点D为 $⊙ O$ 上一点，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点G， $A E ⊥ C D$ 于点F交 $⊙ O$ 于点E．

(1)、求证： $∠ F A G = ∠ F C A$ ；

(2)、如图2，连接 $B F 、 B E$ ，若 $B F = B E$ ，求证： $D G = F G$ ；

(3)、在（2）的条件下，如图3，点H是 $C D$ 上一点，连接 $E H$ ， $∠ F E H = \frac{1}{2} ∠ A B C ， B C - F H = 4 D G$ ，若 $S_{△ B C F} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求线段 $B F$ 的长．

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16. 如图1，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $B D$ 为直径， $\overset{⌢}{A D}$ 上存在点 $E$ ，满足 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，连接 $B E$ 并延长交 $C D$ 的延长线于点 $F$ ， $B E$ 与 $A D$ 交于点 $G$ ．

(1)、若 $∠ D B C = α$ ，请用含 $α$ 的代数式表示 $∠ A G B$ ；

(2)、如图2，连接 $C E$ ， $C E = B G$ ．求证： $E F = D G$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $C G$ ， $A D = 2$ ，求 $C G$ 的最小值．

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17. 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”．

(1)、如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”吗？请说明理由；

(2)、设 $\overset{⌢}{C D}$ 的度数为α，请用含α的式子表示 $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”度数；

(3)、如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5， $\overset{⌢}{C D}$ 的“美丽角”为90°，当 $D E = \frac{7}{2} \sqrt{2}$ 时，求CE的长．

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18. 如图，△ABC内接于⊙O ，弦CD、BE相交于点F ， ∠DFB﹣∠EDC＝90﹣∠ACD ．

(1)、如图1，求证：AB为⊙O的直径；

(2)、如图2，过点D作DG∥BE ，求证： $\hat{D E}$ ＝ $\hat{B G}$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，CD与AB相交于点H ，连接GH并延长交⊙O于点K ，连接DK ，沿DK所在直线作劣弧DK的轴对称图形经过点H ， DG＝5，AC＝8，求线段DE的长．

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19. 已知： $⊙ O$ 的两条弦 $A B$ ， $C D$ 相交于点M，且 $A B = C D$ .

(1)、如图1，连接 $A D$ .求证： $A M = D M$ .

(2)、如图2，若 $A B ⊥ C D$ ，点E为弧 $B D$ 上一点， $\overset{⌢}{B E} = \overset{⌢}{B C} = α °$ ， $A E$ 交 $C D$ 于点F，连接 $A D$ 、 $D E$ .
①求 $∠ E$ 的度数(用含 $α$ 的代数式表示).
②若 $D E = 7$ ， $A M + M F = 17$ ，求 $△ A D F$ 的面积.

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20. 如图1，AC为▱ABCD的对角线，△ABC的外接圆⊙O交CD于点E

(1)、求证：∠BAC＝∠ABE；

(2)、如图2，当AB＝AC时，连接OA、OB ，求证△GOB∽△GBA；

(3)、如图3，在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F，当 $\frac{E F}{F G} = \frac{7}{9}$ 时，求sin∠EAG的值．

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21. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，点F是弧AC的中点，连接OF交AC于点H ．

(1)、如图1，求证： $O F ⊥ A C$ ；

(2)、如图2，AD是 $△ A B C$ 的高，延长AD交 $⊙ O$ 于点K ，若 $∠ C A D = 2 ∠ B A D$ ，求证： $A K = A C$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，延长FO交BD于点E ，连接EK ，点M在CH上，连接OM ．若 $∠ O M H = 3 ∠ D K E ， B E = O H ， A M = \frac{24 \sqrt{7}}{5}$ ，求HF的长．

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22. 在 $⊙ O$ 中，弦 $A B 、 C D$ 交于点 $E$ ，连接 $A D 、 A C 、 B C ，$ $∠A C B - ∠ A B C = 2 ∠ D A B ， D H ⊥ A B$ 于点 $H$ .

(1)、求证： $∠ B A C = 2 ∠ E D H$ ；

(2)、 $M$ 为弦BC中点，过点 $M$ 作 $M F ⊥ D C$ ，连接HF，并延长HF交AC于 $G ， 3 A G = 2 B H$ ，求证： $F H = F G$ ；

(3)、在(2 )的条件下，若 $B C = 2 C E ， E F = 2$ ，求 $⊙ O$ 的直径。

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23. 已知点 $P (a ， b) (a > b > 0)$ ，过点 $P$ 作 $P A ⊥ y$ 轴于点 $A$ ， $P B ⊥ x$ 伷于点 $B$ ，以 $P$ 为圆心， $P B$ 长为半径作圆交 $P A$ 于点 $C$ ，连接 $O C$ 并延长交 $⊙ P$ 于点 $Q$ ．

(1)、当点 $B$ 、 $P$ 、 $Q$ 在同一条直线上时．
①如图1，点 $C$ 是否为线段 $A P$ 的中点？若是，请证明：若不是，请说明理由．
②如图2，连接 $O P$ 、 $B C$ ，两线交于点 $D$ ，当 $a = 4$ ， $b = 2$ 时，求 $C D$ 的长；

(2)、如图3，点 $M$ 为线段 $O C$ 上一动点，过点 $M$ 作 $y$ 轴的平行线，分别交 $O P$ 、 $A P$ 于点 $N$ 、 $H$ ．若 $\frac{b}{a} = m$ （ $m$ 为定值），试探究在点 $M$ 运动的过程中， $\frac{M N}{A H}$ 的值是否为定值？如果是，请求出这个定值（用含 $m$ 的代数式表示）；如果不是，请说明理由．

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24. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D = C B$ ， $B E$ 切 $⊙ O$ 于点 $B$ ，过点 $C$ 作 $C F ⊥ O E$ 交 $B E$ 于点 $F$ ，若 $E F = 2 B F$ ．

(1)、如图1，连接 $B D$ ，求证： $△ A D B ≌ △ O B E$ ；

(2)、如图2， $N$ 是 $A D$ 上一点，在 $A B$ 上取一点 $M$ ，使 $∠ M C N = 60 °$ ，连接 $M N$ ．请问：三条线段 $M N ， B M ， D N$ 有怎样的数量关系？并证明你的结论．

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