河北省沧州市东光县等三县2022-2023学年高一下学期4月联考数学试卷

试卷更新日期：2024-05-10 类型：月考试卷

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一、选择题

1. 已知复数 $z = m (m - 1) + m i$ 为纯虚数，则实数m的值为( )

A、 $- 1$ B、1 C、1或 $- 1$ D、 $- 1$ 或0

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2. 下列说法错误的是( )

A、球体是旋转体 B、圆柱的母线平行于轴 C、斜棱柱的侧面中没有矩形 D、用平面截正棱锥所得的棱台叫做正棱台

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3. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若 $a = 2$ ， $c = \sqrt{6}$ ， $A = 45 °$ ，则b的长为( )

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{3} \pm 1$ D、1

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4. 设 $\vec{e}$ 为单位向量， $| \vec{a} | = 4$ ，当 $\vec{a}$ ， $\vec{e}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ 时， $\vec{a}$ 在 $\vec{e}$ 上的投影向量为( )

A、 $- \frac{1}{2} \vec{e}$ B、 $\vec{e}$ C、 $\sqrt{3} \vec{e}$ D、 $2 \sqrt{3} \vec{e}$

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5. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“ $△ A B C$ 是钝角三角形”是“ $a^{2} + b^{2} - c^{2} < 0$ ”的( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设有直线m、n和平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题中正确的命题是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m / / β$ ， $n / / β$ ，则 $α / / β$ C、若 $m / / n$ ， $m \subset α$ ，则 $n / / α$ D、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，则 $m / / β$

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7. 某车间生产一种圆锥形高脚杯，杯口直径为2R，高为R，将该高脚杯装满水（水面与杯口齐平），现将一直径为 $2 r$ 的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入（整个铁球在水面以下）水中并静止后，从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的 $\frac{1}{8}$ ，则 $\frac{r}{R} =$ ( )

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{\sqrt[3]{32}}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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8. 已知 $△ A B C$ 外接圆圆心为 $O$ ， G为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ．若 $\vec{A B} + \vec{A C} =$ $\frac{5}{2} \vec{A O}$ ，则 $\sin ∠ B O G =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{8}$

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二、多项选择题

9. 复数z满足 $(2 - 3 i) \cdot z = (2 + 3 i) (3 + 2 i)$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的实部为3 B、z的虚部为2 C、 $\bar{z} = - 3 + 2 i$ D、 $| z | = \sqrt{13}$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $s i n \frac{C}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $B C = 1$ ， $A C = 5$ ，则( )

A、 $c o s C = \frac{3}{5}$ B、 $A B = 2 \sqrt{5}$ C、 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ D、 $△ A B C$ 外接圆的直径是 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$

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11. 已知向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 满足 $| \vec{e_{1}} | = 2 | \vec{e_{2}} | = 2$ ，且 $\vec{e_{1}}$ 与 $\vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .若 $\vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ 与 $λ \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 的夹角为钝角，则实数 $λ$ 的值可以是( )

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为BC， $C C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点，则( )

A、直线 $D D_{1}$ 与直线AF异面 B、直线 $A_{1} G$ 与平面AEF平行 C、平面AEF截正方体所得的截面是等腰梯形 D、三棱锥 $A - C E F$ 的体积是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 体积的 $\frac{1}{8}$

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三、填空题

13. 若复数 $z = 1 - i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z i} =$ .

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14. 如图，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，P是 $B C$ 上一点，若 $\vec{B P} = 2 \vec{P C}$ ， $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ .

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16. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 8$ ， $b = 6$ ， $c = 4$ ，则中线AD的长为.

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = a + i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ ， ( $a \in R$ ， i是虚数单位).

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)、若 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的根，求实数a的值.

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18. 已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{5}$ .求：

(1)、 $\vec{a} \cdot \vec{b}$

(2)、 $| \vec{a} + \vec{b} |$

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19. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为3，点E在棱 $A A_{1}$ 上，点F在棱 $C C_{1}$ 上，G在棱 $B B_{1}$ 上，且 $A E = F C_{1} = B_{1} G = 1$ ， H是棱 $B_{1} C_{1}$ 上一点.

(1)、求证：E，B，F，D四点共面；

(2)、若平面 $A_{1} G H / /$ 平面 $B E D_{1} F$ ，求证：H为 $B_{1} C_{1}$ 的中点.

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20. 已知 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $2 c c o s A = a c o s B + b c o s A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $3 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 外接圆的半径为1，判断 $△ A B C$ 的形状，并求 $△ A B C$ 的面积.

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21. 已知向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, - 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + k \vec{c}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，求实数k；

(2)、设 $\vec{a}$ 满足 $(\vec{d} - \vec{c}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $|\vec{d} - \vec{c}| 1$ ，求 $\vec{d}$ 的坐标.

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22. 如图，在海岸边的观测站A点发现南偏西 $30 °$ 方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点 $10 (\sqrt{3} - 1)$ 海里的B处的缉私艇，缉私艇立刻以 $10 \sqrt{2}$ 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处向正南方向逃窜.

(1)、刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？

(2)、缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船？

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