湖北省孝感市孝昌县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：期中考试

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一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ C、 ${(2 \sqrt{3})}^{2} = 2 \times 3 = 6$ D、 ${(- \sqrt{2})}^{2} = - 2$

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2. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A、2，4，5 B、8，8，14 C、 $\sqrt{3} ， 3 ， 2 \sqrt{3}$ D、5，10，13

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3. 在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O$ ，若 $A B = 5 ， ∠ A O B = 60 °$ ，则矩形对角线的长是（）

A、 $5 \sqrt{3} m$ B、 $20 c m$ C、 $10 c m$ D、 $10 \sqrt{3} c m$

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4. 如果最简二次根式 $\sqrt{2 x + 1}$ 和 $\sqrt{4 x - 3}$ 能合并，则x的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、2 D、5

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5. 由下列条件不能判定 $Δ A B C$ 为直角三角形的是（）

A、 $∠ A + ∠ B = ∠ C$ B、 $a ： b ： c = 1 ： 1 ： 2$ C、 $(b + c) (b - c) = a^{2}$ D、 $a = 1$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = \sqrt{3}$

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6. 若式子 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x ≥ 1$ B、 $x \leq 1$ C、 $x > 1$ 且 $x \neq 0$ D、 $x < 1$

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7.
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且OE=a，则菱形ABCD的周长为（）

A、16a B、12a C、8a D、4a

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8. 如图，▱ABCD中，AC⊥BC，BC＝3，AC＝4，则B，D两点间的距离是（　　）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、6 $\sqrt{2}$ C、10 D、5 $\sqrt{5}$

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9. 如图所示，沿DE折叠长方形ABCD的一边，使点C落在AB边上的点F处，若AD＝8，且△AFD的面积为60，则△DEC的面积为（）

A、 $\frac{289}{8}$ B、 $\frac{50}{3}$ C、18 D、20

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10. 如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF ， AE、BF相交于点O ，下列结论：

（1）AE=BF；（2）AE⊥BF；（3）AO=OE；（4） $S_{Δ A O B} = S_{四边形 D E O F}$ 中正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）

11. 计算： $\sqrt{18} - \sqrt{8} =$ .

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12. 若 $a < 2$ ，化简： $\sqrt{{(a - 2)}^{2}} - a + 1$ ．

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13. 命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是．

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A C E$ 是以菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 为边的等边三角形， $A C ＝ 2 ，$ 点 $C$ 与点 $E$ 关于 $x$ 轴对称，则点 $D$ 的坐标是．

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15.
将1、 $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt{3}$ 、 $\sqrt{6}$ 按右侧方式排列．若规定（m，n）表示第m排从左向右第n个数，则（5，4）与（15，7）表示的两数之积是．

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三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16. 计算题

(1)、 $2 \sqrt{12} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \div 5 \sqrt{2}$ ；

(2)、 $(3 \sqrt{27} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{48}) \div 2 \sqrt{3}$ ．

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17. 求代数式 $\frac{x}{x^{2} - 2 x + 1} \div (1 + \frac{1}{x - 1})$ 的值，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ ．

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18. 如图是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据： $A M = 4$ 米， $M B = 8 \sqrt{3}$ 米， $∠ M A D = 45 ° ， ∠ M B C = 30 °$ ，求警示牌的高 $C D$ ．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $D E$ 平分 $∠ A D C$ 交 $A B$ 于点E ， $B F$ 平分 $∠ A B C$ 交 $C D$ 于点F ，求证： $D E = B F$ ．

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20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

(1)、在图中已知点A ，画一个 $△ A B C$ ，使 $A B = \sqrt{13}$ ， $B C = 3$ ， $A C = \sqrt{10}$ ．

(2)、请在网格中画出 $▱ A D B C$ ．

(3)、请用无刻度的直尺画出图中 $△ A B C$ 中 $A C$ 边上高 $B M$ （结果用实线表示，其他辅助线用虚线表示），且 $B M =$ _▲_．

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21. 定义：若两个二次根式a ， b满足 $a \cdot b = c$ ，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．

(1)、若 $a$ 与 $\sqrt{2}$ 是关于4的共轭二次根式，则 $a =$

(2)、若 $3 + \sqrt{3}$ 与 $6 + \sqrt{3} m$ 是关于12的共轭二次根式，求 $m$ 的值．

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22. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，使点 $C$ 与点 $A$ 重合，折痕交 $A D$ 于点 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A F ， C E$ ．

(1)、求证；四边形 $A F C E$ 的菱形；

(2)、设 $A E = 13 ， E D = 5$ ，求 $A B$ 的长．

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23. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a ， b ， c ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ．
【解决问题】：已知如图1在 $△ A B C$ 中， $A C = 4 ， B C = 5 ， A B = 7$ ．

(1)、请你用“海伦-秦九韶公式”求 $△ A B C$ 的面积．

(2)、除了利用“海伦-秦九韶公式”求 $△ A B C$ 的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．

(3)、如图2，D是 $△ A B C$ 内一点， $∠ B D C = 90 ° ， B D = C D ， A B = 17 ， A C = 21$ ， $A D = 5 \sqrt{2}$ ，则 $B C$ 的长是．

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24. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C = 60 c m$ ， $∠ A = 60 °$ ，点D从点C出发沿CA方向以 $4 c m / s$ 的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以 $2 c m / s$ 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是 $t$ 秒（ $0 < t \leq 15$ ）．过点 $D$ 作 $D F ⊥ B C$ 于点F ，连接DE ， EF ．

(1)、求证： $A E = D F$ ；

(2)、四边形 $A E F D$ 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 $t$ 值，如果不能，说明理由；

(3)、当 $t$ 为何值时， $△ D E F$ 为直角三角形？请说明理由．

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