浙江省宁波市2024年中考数学模拟试卷（探花卷）

试卷更新日期：2024-05-10 类型：中考模拟

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 春节期间冰雪旅游大热，杭州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询气温，结果如图所示，杭州的气温是 $19 ℃$ ，哈尔滨的气温是 $- 14 ℃$ ，则此刻两地的温差是( )

A、 $33 ℃$ B、 $19 ℃$ C、 $14 ℃$ D、 $5 ℃$

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2. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年指光在一年内走过的路程，约等于 $9460000000000 k m$ ，数 $9460000000000$ 可以用科学记数法表示为( )

A、 $9.46 \times 10^{12}$ B、 $94.6 \times 10^{12}$ C、 $0.946 \times 10^{12}$ D、 $9.46 \times 10^{13}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(- a^{3} b)}^{2} = - a^{6} b^{2}$ C、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$

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4. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )

A、 $b < a$ B、 $a < - 2$ C、 $a + b > 0$ D、 $- a > b$

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5. 如图，已知 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，它们依次交直线 $l_{4}$ 、 $l_{5}$ 于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 和点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ ，如果 $D E$ ： $D F = 3$ ： $5$ ， $A C = 12$ ，那么 $B C$ 的长等于（）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $\frac{24}{5}$ D、 $\frac{36}{5}$

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6. 已知一组数据： $3$ ， $4$ ， $4$ ， $5$ ，如果再添加一个数据 $4$ ，得到一组新的数据，这组新的数据的统计量会发生变化的是( )

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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7. 如图，已知直线 $l / / A B$ ， $∠ A = 2 ∠ B .$ 若 $∠ 1 = 118 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为( )

A、 $31 °$
B、 $36 °$
C、 $62 °$
D、 $72 °$

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8. 如图， $A B$ ， $A C$ 分别切 $⊙ O$ 于B，C两点，若 $∠ O B C = 26 °$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、32° B、52° C、64° D、72°

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9. 如图，已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A C < 60 °$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 的重心 $.$ 若 $B C = 6$ ，当点 $A$ 到 $B C$ 的距离最大时，线段 $P O$ 的长为( )

A、 $\frac{1}{t a n ∠ B A C} - \frac{2}{s i n ∠ B A C}$
B、 $\frac{2}{t a n ∠ B A C} - \frac{1}{s i n ∠ B A C}$
C、 $t a n ∠ B A C - 2 s i n ∠ B A C$
D、 $2 t a n ∠ B A C - s i n ∠ B A C$

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10. 如图，已知 $A C$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，以点 $D$ 为旋转中心将 $△ A D C$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ F D E$ ， $B$ ， $F$ ， $E$ 三点恰好在同一条直线上，设 $A C$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ ，连结 $D G .$ 有以下结论： $① A C ⊥ B E$ ； $② △ B C G$ ∽ $△ G A D$ ； $③ F$ 是线段 $C D$ 的黄金分割点； $④ C G + \sqrt{2} D G = E G .$ 其中正确的是( )

A、 $①$ B、 $① ③$ C、 $② ④$ D、 $① ③ ④$

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二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11. 分解因式： $m x^{2} - m y^{2} =$ ．

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12. 已知二次根式 $\sqrt{3 x + 1}$ 的值为 $4$ ，则 $x =$ ．

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13. 不透明的袋子里有 $2$ 个红球和 $1$ 个白球，这些球除颜色外无其他差别 $.$ 随机摸取两个球，恰好为一个红球一个白球的概率是．

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14. 若 $2 x^{2} - x - 7 = 0$ ，则 $x (x - 3) + (x + 1)^{2} =$ ．

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15. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 t x + 3 t$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (a, 0)$ ， $B (b, 0)$ 两点，且满足 $- 6 \leq a + b \leq - 4 .$ 当 $- 3 \leq x \leq - 1$ 时，该函数的最大值 $M$ 与 $t$ 满足的关系式是．

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $B C = 9$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿着 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，连结 $C F .$ 若 $∠ F E C = 2 ∠ F C E$ ，且 $C F = 6$ ，则 $B E$ 的长为， $A B$ 的长为．

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三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 计算 $6 \div (- \frac{1}{2} + \frac{1}{3})$ ，方方同学的计算过程如下，原式 $= 6 \div (- \frac{1}{2}) + 6 \div \frac{1}{3} = - 12 + 18 = 6 .$ 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．

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18. 端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗，在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数、为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行活整理，并绘制统计图表，部分信息如表：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分
6
7
8
9
10
人数
1
2
a
b
2
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是，七年级活动成绩的众数为分；

(2)、a＝， b＝；

(3)、若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

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19. 如图，点 $O$ 是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上一点， $⊙ O$ 与边 $A C$ 相切于点 $E$ ，与边 $B C$ 、 $A B$ 分别相交于点 $D$ 、 $F$ ，且 $D E = E F$ ．

(1)、求证： $∠ C = 90 °$ ；

(2)、当 $B C = 3$ ， $c o s A = \frac{4}{5}$ 时，求 $A F$ 的长．

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20. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ ，点 $(3, a)$ ， $(1,2 a + 1)$ 都在该反比例函数图象上．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、若点 $A (x_{1}, y_{1}) B (x_{2}, y_{2})$ 都在该反比例函数图象上；
$①$ 当 $y_{2} = y_{1} + 6$ ，点 $A$ 和点 $B$ 关于原点中心对称时，求点 $B$ 坐标；
$②$ 当 $x_{1} = 3$ ， $y_{1} + y_{2} < 0$ 时，求 $x_{2}$ 的取值范围．

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21. $《$ 海岛算经 $》$ 是中国古代测量术的代表作，原名 $《$ 重差 $》 .$ 这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁 $.$ 直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图 $2$ ，为测量海岛上一座山峰 $A H$ 的高度，直立两根高 $2$ 米的标杆 $B C$ 和 $D E$ ，两杆间距 $B D$ 相距 $6$ 米， $D$ 、 $B$ 、 $H$ 三点共线 $.$ 从点 $B$ 处退行到点 $F$ ，观察山顶 $A$ ，发现 $A$ 、 $C$ 、 $F$ 三点共线，且仰角为 $45 °$ ；从点 $D$ 处退行到点 $G$ ，观察山顶 $A$ ，发现 $A$ 、 $E$ 、 $G$ 三点共线，且仰角为 $30 ° . ($ 点 $F$ 、 $G$ 都在直线 $H B$ 上 $)$

(1)、求 $F G$ 的长 $($ 结果保留根号 $)$ ；

(2)、山峰高度 $A H$ 的长 $($ 结果精确到 $0.1$ 米 $) . ($ 参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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22. 某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的 $.$ 其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 $O A$ 上，另一端固定在墙体 $B C$ 上，其横截面有 $2$ 根支架 $D E$ ， $F G$ ，相关数据如图 $1$ 所示，其中支架 $D E = B C$ ， $O F = D F = B D$ ，这个大棚用了 $400$ 根支架．

为增加棚内空间，农场决定将图 $1$ 中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图 $2$ 所示，调整后 $C$ 与 $E$ 上升相同的高度，增加的支架单价为 $60$ 元 $/$ 米 $($ 接口忽略不计 $)$ ，需要增加的经费不超过 $32000$ 元．

(1)、分别以 $O B$ 和 $O A$ 所在的直线为 $x$ 轴和 $y$ 轴建立平面直角坐标系．
$①$ 求出改造前的函数解析式．
$②$ 当 $C C^{'} = 1$ 米，求 $G G^{'}$ 的长度．

(2)、只考虑经费情况下，求出 $C C^{'}$ 的最大值．

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23. 综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $B D$ 上的动点 $($ 与点 $B$ ， $D$ 不重合 $)$ ，连结 $A E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ A E$ ， $E G ⊥ B D$ ，分别交直线 $B C$ 于点 $F$ ， $G .$ 请说明 $△ A B E$ ≌ $△ F G E$ ，并求 $\frac{E F}{A E}$ 的值．

(1)、数学思考：请你解答老师提出的问题．

(2)、深入探究：如图 $2$ ，老师将图 $1$ 中的“正方形 $A B C D$ ”改为“矩形 $A B C D$ ”，其他条件均不变，并让同学们提出新的问题．
$①$ “聪聪小组”提出问题：如图 $2$ ，当 $A B = 3$ ， $B C = 4$ 时，求 $\frac{E F}{A E}$ 的值；进一步，当 $A B = m \cdot B C$ 时，直接写出 $\frac{E F}{A E}$ 的值 $($ 用含 $m$ 的代数式表示 $)$ ．
$②$ “慧慧小组”提出问题：如图 $3$ ，连结 $C E$ ，当 $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， $C E = C D$ 时，求 $E F$ 的长．
请解答这两个问题．

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24. 如图， $A B$ ， $C D$ 是 $⊙ O$ 的两条直径， $A B ⊥ C D$ ，点 $E$ 是 $\overset{⏜}{B D}$ 上一点，连接 $A E$ ， $C E$ ，分别交 $O D$ ， $O B$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $A C$ ， $A D$ ， $F G$ ．

(1)、若 $∠ A F O = 60 °$ ，求 $∠ C G O$ 的度数．

(2)、求证： $A C^{2} = A G \cdot C F$ ．

(3)、设 $∠ A F O = α$ ， $△ C F G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ A O F$ 的面积为 $S_{2}$ ，求证： $\frac{S_{1}}{S_{2}} = t a n α - 1$ ．

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成绩/分	6	7	8	9	10
人数	1	2	a	b	2