浙江省宁波市余姚市2024年九年级中考一模考数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：中考模拟

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一、选择题(每小题3分，共30分

1. 为了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为-2℃，最高气温为7℃，则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差〉为( )

A、-9℃ B、-5℃ C、5℃ D、9℃

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2. 下列计算正确的是( )

A、 $\sqrt{3^{2}} = 3$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{3^{2}} = \pm 3$ D、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = \pm 3$

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3. 已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元.若在该快递公司寄一件9千克的物品，则需要付费( )

A、17元 B、19元 C、21元 D、23元

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4. 如图所示几何体是由一个四棱柱上放置一个球体得到的，它的左视图是( )

A、 B、 C、 D、

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5. 一组数据-2，a ， 5，3，7有唯一的众数7，则这组数据的中位数是( )

A、-2 B、3 C、5 D、7

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6. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式 $\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} (v \neq f)$ 表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（）

A、 $\frac{f v}{f - v}$ B、 $\frac{f - v}{f v}$ C、 $\frac{f v}{v - f}$ D、 $\frac{v - f}{f v}$

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7. 如图，在Rt△ABC中，BC的中垂线与BC交于点D，与AC交于点E，连结BE，F为BE的中点，若DF=2，则AE的长为( )

A、5 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、3

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8. 如图，将矩形ABCD绕点C顺时针方向旋转90°得到矩形FGCE，连结AF，点H是AF的中点，连结GH.若AB=2，BC=4，则GH的长为( )

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $2 \sqrt{2}$

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9. 已知点A( $x_{1}$ ， $y_{1}$ )，B( $x_{2}$ ， $y_{2}$ )，C( $x_{3}$ ， $y_{3}$ )在二次函数 $y = - x^{2} + c$ (c>0)的图象上，点A，C是该函数图象与正比例函数 $y = k x$ (k为常数且k>0)的图象的交点.若 $x_{1} < 0 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系为( )

A、 $y_{3}$ < $y_{2}$ < $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ < $y_{2}$ < $y_{3}$ C、 $y_{2}$ < $\frac{\sqrt{2}}{2}$ < $y_{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ < $y_{3}$ < $y_{2}$

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10. 将正六边形ABCDEF折叠成三角形后(如图1)用剪刀剪下一个角，展开后得到如图2所示的图形，图2中虚线为折叠时产生的折痕，折痕AG＋BH=AB，若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的 $\frac{5}{6}$ ，则 $\frac{G H}{A B}$ 的值为( )

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题(每小题4分，共24分

11. 分解因式： $9 - y^{2}$ =.

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12. 请写出一个小于3的无理数；

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13. 一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则n=.

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14. 已知一次函数 $y = 2 x - 3$ 与 $y = k x$ (k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(2，1)，则方程组 ${\begin{cases} y = 2 x - 3 \\ y = k x \end{cases}$ 的解是.

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15. 如图，在△ABC中，AB=AC=3，点О在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，OC=2OB，D是BC边上B的动点(不与B，C重合)，当△ACD为等腰三角形时，BD的长为.

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16. 如图，直角坐标系中，▱AOBC的顶点B在x轴的正半轴上，A，C在第一象限.反比例函数 $y = \frac{25}{x}$ (x>0)的图象经过点A，与BC交于点D，AE⊥x轴于点E，连结DE并延长交AO的延长线于点F，反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ (x<0)的图象经过点F﹐连结BF，则△BDF的面积为.

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三、解答题(本大题有8小题，共66分

17. 小明在计算 $a (2 + a) - (a - 2)^{2}$ 时，解答过程如下：
小明的解答从第_▲_步开始出错，请写出正确的解答过程.

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18. 图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形.

(1)、在图1中画出一个以AB为边的口ABCD，且点C和点D均在格点上；

(2)、在图2中画出一个以AB为对角线的菱形AEBF，且点E和点F均在格点上.

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19. 如图，一次函数 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (k≠0)的图象交于点A(a ， 3)，与y轴交于点B.

(1)、求点A的坐标和反比例函数的表达式；

(2)、若点Р在y轴上，△ABP的面积为6，求点P的坐标.

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20. 某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件.用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数分布直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.

(1)、求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；

(2)、在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数多?为什么?

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21. 在边长为3的正方形ABCD中，点E在边AD上(不与点A4，D重合)，射线BE与射线CD交于点F.

(1)、若ED=1，求DF的长；

(2)、求证：AE·CF=9；

(3)、以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段BE于点G.若EG=ED，求ED的长.

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22. 根据以下素材，探索完成任务.

如何制作简易风筝?
素材1	图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，AC垂直平分BD且AC>BD，并按 AO：OC=3∶5的比例固定骨架，骨架AC与BD共消耗竹条60cm，四边形ABCD的面积为400cm²
素材2	考虑到实际需要，蒙面(风筝面)边缘离骨架的端点要留出一定距离.如图2，现BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，过距离A，B，D三点分别为5cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线(建立如图的直角坐标系).BD以下部分的蒙面设计为△FGH，点H在OC延长线上且FH∥BC.
素材3	从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝蒙面(包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形部分)，长方形各边均与骨架平行(或垂直).

(1)、【确定骨架长度】求骨架AC和BD的长度.

(2)、【确定蒙面形状】求抛物线的函数表达式.

(3)、【选择纸张大小】至少选择面积为多少的长方形纸片?

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23. 在平面直角坐标系中，设二次函数 $y = a x^{2} + b x - 4 a$ (a ， b是常数，a≠0).

(1)、判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；

(2)、若该函数图象的对称轴为直线x=2，A( $x_{1}$ ， m)，B( $x_{2}$ ， m)为该函数图象上的任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，求当 $x_{1}$ ， $x_{1}$ 为何值时， $m = 8 a$ ；

(3)、若该函数图象的顶点在第二象限，且过点(1，2)，当 $a < b$ 时求 $3 a + b$ 的取值范围.

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24. 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC交BD于点G， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ，点F在线段BD上，且AF=AD.

(1)、若∠ADB= $α$ ，请用 $α$ 的代数式表示∠ADC；

(2)、求证：BF=CD；

(3)、如图2，延长AF交⊙O于点M，连结FC.
①若AM为⊙O的直径，AM=13，tan∠DAC= $\frac{2}{3}$ ，求AF的长；
②若FG=2GD，猜想∠AFC的度数，并证明你的结论.

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