浙江省杭州市第十五中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：月考试卷

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一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1. $- 3^{2}$ 的结果是（）

A、 $- 6$ B、 $6$ C、 $- 9$ D、 $9$

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2. tan45°的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A、圆 B、菱形 C、矩形 D、等边三角形

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4. $2024$ 年春节期间，杭州东站一天的客流量为 $2500000$ 人次．将 $2500000$ 用科学记数法表示应为（）

A、 $2.5 \times 1 0^{7}$ B、 $25 \times 1 0^{6}$ C、 $0.25 \times 1 0^{8}$ D、 $2.5 \times 1 0^{6}$

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5. 如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，则这个立体图形的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，点 $C$ 是 $⊙ O$ 的劣弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点， $∠ A O B = 96 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、192° B、120° C、132° D、150°

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7. 若点 $A (x_{1}, - 6)$ ， $B (x_{2}, - 2)$ ， $C (x_{3}, 4)$ ，在反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ C、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$

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8. 下图是甲乙丙三位同学在一次长跑练习中所用时间与路程之间的函数图象，其中最先到达终点和平均速度最快的分别是（）

A、甲和乙 B、甲和丙 C、丙和甲 D、丙和乙

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9. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为1，连接 $A C$ 、 $B D$ ， $C E$ 平分 $∠ A C D$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，则 $D E$ 长（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

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10. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $O A = O C$ ， $M$ 是抛物线的顶点，三角形 $A M B$ 的面积等于1，则以下结论：① $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0$ ；② $a c - b + 1 = 0$ ；③ ${(2 - b)}^{3} = 8 a^{2}$ ；④ $O A \cdot O B = - \frac{c}{a}$ ，其中正确的结论是（）

A、②④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11. 化简： $\frac{y}{x - y} - \frac{x}{x - y} =$ ．

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12. 一个不透明的口袋中有除颜色外完全相同的5个小球．其中黄球有2个，红球有2个，蓝球有1个，随机摸出一个小球为红球的概率是．

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13. 若把代数式 $x^{2} + 2 x - 3$ 化为 $(x - m)^{2} + k$ 的形式，其中 $m$ ， $k$ 为常数，则 $m + k =$ ．

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14. 如图， $A O$ 是圆锥的高， $O B$ 是底面半径，如果圆锥底面周长为 $8 π$ 厘米， $∠ A B O = 60 °$ ，那么圆锥的高为．

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15. 已知关于 $x$ ， $y$ 的方程组 ${\begin{array}{l} (m + 4) x + (m - 4) y = 4 \\ (m - 4) x + (m + 4) y = 4 \end{array}$ ，则 $x - y =$ ．

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16. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 20 °$ ，点D为AB的中点，点P为AC上一个动点，将 $△ A P D$ 沿DP折叠得到 $△ Q P D$ ，点A的对应点为点Q ，当 $P Q ⊥ A B$ 时， $∠ A D P$ 的度数为．

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三、解答题（共8小题，满分72分）

17. 下面是小清与小北两位同学解分式方程

\frac{3 x}{x - 2} - 2 = \frac{6}{2 - x}

的过程：

小清：

去分母，得： $3 x - 2 = - 6$ ，

解得： $x = - \frac{4}{3}$ ，

检验：当 $x = - \frac{4}{3}$ 时， $x - 2 = - \frac{10}{3} \neq 0$ ，

∴分式方程的解为 $x = - \frac{4}{3}$ ．

小北：

去分母，得： $3 x - 2 (x - 2) = 6$

解得： $x = 2$ ，

检验：当 $x = 2$ 时， $x - 2 = 0$ ，

∴分式方程无解．

请判断小清与小北的解法是否正确？如果不正确，写出你的解答过程．

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18. 在全民读书月活动中，某校随机抽样调查了一部分学生本学期计划购买课外书的费用情况，根据图中的相关信息，解答下面问题；

(1)、这次调查获取的样本容量是；

(2)、由统计图可知，这次调查获取的样本数据的众数是；中位数是；

(3)、若该校共有1000名学生，根据样本数据，估计该校本学期计划购买课外书的总花费．

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19. 如图，在 $▱$ ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= $\frac{1}{2}$ BC，连结DE，CF。

(1)、求证：四边形CEDF是平行四边形；

(2)、若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长。

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20. 如图，为了测量某建筑物 $C D$ 的高度，先在地面上用测角仪自 $A$ 处测得建筑物顶部的仰角 $∠ C A E$ ，然后在水平地面上向建筑物走到B点处，此时自 $B$ 处测得建筑物顶部的仰角 $∠ C B E$ ．已知测角仪的高度是 $1.5 m$ ．

(1)、若 $∠ C A E = 30 °$ ， $∠ C B E = 45 °$ ， $A B = 100 m$ ，计算出该建筑物的高度．

(2)、若 $∠ C A E = α$ ， $∠ C B E = β$ ， $A B = x$ ，计算出该建筑物的高度（用含 $α ， β ， x$ 的代数式表示）

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 4$ ， D为 $B C$ 边上一点， $B D = 1$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ C B A$ ；

(2)、如果 $A D = \frac{5}{2}$ ，求 $A C$ 的长．

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22. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 2 m x + m + 3 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、当 $m$ 取满足条件的最大整数时，求方程的根．

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23. 已知：在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，2）在函数 $y = \frac{m}{x}$ (x<0)的图象上．

(1)、求m的值；

(2)、过点A作y轴的平行线 $l$ ，直线 $y = - 2 x + b$ 与直线 $l$ 交于点B ，与函数 $y = \frac{m}{x}$ (x<0)的图象交于点C ，与 $y$ 轴交于点D ．
①当点C是线段BD的中点时，求b的值；

②当BC<BD时，直接写出b的取值范围．

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24. 如图1， $⊙ O$ 为锐角三角形 $A B C$ 的外接圆，点D在 $\overset{⌢}{B C}$ 上， $A D$ 交 $B C$ 于点E ，点F在 $A E$ 上，满足 $∠ A F B - ∠ B F D = ∠ A C B$ ， $F G ∥ A C$ 交 $B C$ 于点G ， $B E = F G$ ，连结 $B D$ ， $D G$ ．设 $∠ A C B = α$ ．

(1)、用含a的代数式表示 $∠ B F D$ ：

(2)、求证： $△ B D E ≅ △ F D G$ ；

(3)、如图2， $A D$ 为 $⊙ O$ 的直径．
①当 $\overset{⌢}{A B}$ 的长为2时，求 $\overset{⌢}{A C}$ 的长；
②当 $O F : O E = 4 : 11$ 时，求 $\frac{B D}{A D}$ 的值．

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