广东省茂名市2024届高三下学期4月二模考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：高考模拟

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一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.

1. 已知复数 $z = c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

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2. 与向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ 方向相同的单位向量是（）

A、 $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ B、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 a_{5} = a_{4} + 5$ ，则 $S_{11}$ 的值是（）

A、11 B、50 C、55 D、60

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4. 已知 $l, m$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下面四个命题中，正确的是（）

A、若 $l   m$ ， $m \subset α$ ，则 $l   α$ B、若 $l   α$ ， $m   β, α   β$ ，则 $l   m$ C、若 $α ⊥ β, l \subset α, m \subset β$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $m ⊥ β, l   α, l   m$ ，则 $α ⊥ β$

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5. 已知变量x和y的统计数据如表：
x
1
2
3
4
5
y
6
6
7
8
8
根据上表可得回归直线方程 $\hat{y} = 0.6 x + \hat{a}$ ，据此可以预测当 $x = 8$ 时， $y =$ ( )

A、8.5 B、9 C、9.5 D、10

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6. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F ， C的准线与x轴的交点为M ，点P是C上一点，且点P在第一象限，设 $∠ P M F = α$ ， $∠ P F M = β$ ，则（）

A、 $t a n α = s i n β$ B、 $t a n α = - c o s β$ C、 $t a n β = - s i n α$ D、 $t a n β = - c o s α$

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7. 若 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且 $f (x) = f (4 - x)$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则函数 $g (x) = 3 | s i n (π x) | - f (x)$ 在区间 $[- 1, 5]$ 上的所有零点的和是（）

A、20 B、18 C、16 D、14

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8. 已知m ， $n \in R$ ， $m^{2} + n^{2} \neq 0$ ，记直线 $n x + m y - n = 0$ 与直线 $m x - n y - n = 0$ 的交点为P ，点Q是圆C： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上的一点，若PQ与C相切，则 $| P Q |$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{2}, \sqrt{14}]$ B、 $[2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{7}]$ C、 $[2, \sqrt{14}]$ D、 $[2, 2 \sqrt{7}]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且在 $R$ 上单调递增，若 $f (2 a) + f (a - 2) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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10. 已知双曲线 $C : 4 x^{2} - y^{2} = 1$ ，直线 $l : y = k x + 1 (k > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $k = 2$ ，则 $l$ 与 $C$ 仅有一个公共点 B、若 $k = 2 \sqrt{2}$ ，则 $l$ 与 $C$ 仅有一个公共点 C、若 $l$ 与 $C$ 有两个公共点，则 $2 < k < 2 \sqrt{2}$ D、若 $l$ 与 $C$ 没有公共点，则 $k > 2 \sqrt{2}$

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11. 已知 $6 l n m = m + a$ ， $6 n = e^{n} + a$ ，其中 $m \neq e^{n}$ ，则 $m + e^{n}$ 的取值可以是（）

A、e B、 $e^{2}$ C、 $3 e^{2}$ D、 $4 e^{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(x - 2)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数是.

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13. 在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 6 0^{0}, A B = 6, A C = 3$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，则 $A D =$ .

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14. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ B A D = 9 0^{0}, A B = B C = \frac{1}{2} A D = 2$ ，将 $Δ B A C$ 沿直线 $A C$ 翻折至 $Δ B_{1} A C$ 的位置， $3 \vec{A M} = \vec{M B_{1}}$ ，当三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的体积最大时，过点 $M$ 的平面截三棱锥 $B_{1} - A C D$ 的外接球所得的截面面积的最小值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 如图，几何体是圆柱的一半，四边形 $A B C D$ 是圆柱的轴截面， $O$ 为 $C D$ 的中点， $E$ 为半圆弧 $C D$ 上异于 $C, D$ 的一点.

(1)、证明： $A E ⊥ C E$ ；

(2)、若 $A B = 2 A D = 4$ ， $∠ E D C = \frac{π}{3}$ ，求平面 $E O B$ 与平面 $D O B$ 夹角的余弦值.

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16. 已知函数 $f (x) = e^{x} s i n x - a x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $x + y = 0$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $a = \frac{3}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最大值.

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点.

(1)、若直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，求 $| A B |$ ；

(2)、记线段 $A B$ 的垂直平分线交直线 $x = - 1$ 于点 $M$ ，当 $∠ A M B$ 最大时，求直线 $l$ 的方程.

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18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且不同对阵的结果相互独立．

(1)、若 $p = 0.6$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)、除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．

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19. 有无穷多个首项均为1的等差数列，记第 $n (n \in N^{*})$ 个等差数列的第 $m (m \in N, m \geq 2)$ 项为 $a_{m} (n)$ ，公差为 $d_{n} (d_{n} > 0)$ .

(1)、若 $a_{2} (2) - a_{2} (1) = 2$ ，求 $d_{2} - d_{1}$ 的值；

(2)、若m为给定的值，且对任意n有 $a_{m} (n + 1) = 2 a_{m} (n)$ ，证明：存在实数 $λ$ ， $μ$ 满足 $λ + μ = 1$ ， $d_{100} = λ d_{1} + μ d_{2}$ ；

(3)、若 ${d_{n}}$ 为等比数列，证明： $a_{m} (1) + a_{m} (2) + ⋯ + a_{m} (n) \leq \frac{[a_{m} (1) + a_{m} (n)] n}{2}$ .

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