广东省普宁部分学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-10 类型：期中考试

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一、单选题（每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）

1. 若复数z满足 $z (2 - i) = 2 i$ ， i是虚数单位，则在复平面内z对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 在复平面内，复数 $z = \frac{2 i}{- 1 + 2 i}$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $- \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} i$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5} i$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 4, 3)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 方向相反的单位向量是（）

A、 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ D、 $(\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ 或 $(- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$

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4. 已知 $z$ 满足 $2 \bar{z} + \frac{4}{1 + i} = z + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $2 + i$

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5. 一个圆台的上、下底面的半径分别为2和3，高为 $\sqrt{3}$ ，则它的表面积为（）

A、 $23 π$ B、 $(13 + 5 \sqrt{3}) π$ C、 $\frac{19 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $25 π$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (2, 3)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$

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7. 已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的 $9$ 倍，则它的侧面积扩大为原来的（）

A、 $\sqrt{3}$ 倍 B、 $3$ 倍 C、 $3 \sqrt{3}$ 倍 D、 $9$ 倍

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 的中点， $G$ 是 $A D$ 的中点，过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 于点 $M$ ， $N$ ，且 $\vec{A B} = x \vec{A M}, \vec{A C} = y \vec{A N}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题（每小题有多项符合题目要求，全选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分）

9. 如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中正确的是（）

A、圆锥的轴截面为直角三角形 B、圆锥的表面积大于球的表面积的一半 C、圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为 $π$ D、圆锥的体积与球的体积之比为 $1 : 4$

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $(\vec{A C} + \vec{B O} + \vec{O A}) - (\vec{D C} - \vec{D O} - \vec{O B}) = \vec{0}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是钝角 C、向量 $\vec{e_{1}} = (2, - 3), \vec{e_{2}} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 能作为平面内所有向量的一个基底 D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\vec{0}$

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11. 已知 $z$ 是复数，且 $\frac{z + 1}{z - 1}$ 为纯虚数，则（）

A、 $| \bar{z} | = 1$ B、 $z \cdot \bar{z} = 1$ C、 $z$ 在复平面内对应的点在实轴上 D、 $| z - 2 - 2 i |$ = $2 \sqrt{2} + 1$

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三、填空题（每小题5分，共15分）

12. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $| \vec{a} | = \sqrt[]{2}$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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13. 已知圆锥的底面积是 $π$ ，侧面积是 $3 π$ ，则其体积是.

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14. 已知复数 $z = i + 2 i^{2} + 3 i^{3} + ⋯ + 2023 i^{2023}$ ，则 $z$ 的虚部为.

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四、解答题

15. 已知向量 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (5, 2)$ .

(1)、若 $(\vec{a} - 3 \vec{b}) / / (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)、若 $(\vec{a} - m \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，求实数 $m$ 的值.

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16. 已知复数 $z_{1} = 4 + m i (m \in R)$ ，且 $\bar{z_{1}} \cdot (1 - 2 i)$ 为纯虚数.

(1)、求复数 $z_{1}$ ；

(2)、若 $z_{2} = \frac{z_{1}}{(1 - i)^{2}}$ ，求复数 ${\bar{z}}_{2}$ 及 $| z_{2} |$ .

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17. 已知非零向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线．

(1)、如果 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{B C} = 2 \vec{e_{1}} + 8 \vec{e_{2}}, \vec{C D} = 3 (\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}})$ ，求证：A，B，D三点共线；

(2)、若 $k \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 和 $\vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ 是方向相反的两个向量，试确定实数k的值．

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18. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、求 $| \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} |$ 的值．

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19.

(1)、记 $i$ 是虚数单位，若复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z} - 3 i z = 4 - 6 i$ ，求 $z$ ；

(2)、若复数 $z = (m^{2} - 5 m + 6) + (m - 2) i (m \in R)$ ．
①若复数 $z$ 为纯虚数，求实数 $m$ 的值；
②若复数 $z$ 在复平面内对应的点在第二象限，求实数 $m$ 的取值范围．

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