浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-10 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项）

1. 下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列各式中计算正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} - \sqrt{2} = \sqrt{1}$ C、 $\sqrt{2} \div \sqrt{3} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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3. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 3 ∠ B$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $135 °$ B、 $120 °$ C、 $115 °$ D、 $45 °$

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4. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 配方后可化为（）

A、 $(x + 2)^{2} = 2$ B、 $(x - 2)^{2} = 2$ C、 $(x - 2)^{2} = 4$ D、 $(x + 2)^{2} = 4$

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5. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D ∥ B C$ ．添加下列条件不能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A D = B C$ B、 $A B ∥ D C$ C、 $A B = D C$ D、 $∠ A = ∠ C$

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6. 在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（）

A、平均数 B、中位数 C、方差 D、标准差

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7. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 $45 °$ ”时，首先应假设这个直角三角形中（）

A、有一个锐角大于 $45 °$ B、有一个锐角小于 $45 °$ C、每一个锐角都小于 $45 °$ D、每一个锐角都大于 $45 °$

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8. 一个六边形如图所示．已知 $A B ∥ D E, B C ∥ E F, C D ∥ A F$ ．若 $∠ A = 122 °, ∠ C = 128 °$ ，则 $∠ E$ 的值为（）

A、 $110 °$ B、 $111 °$ C、 $112 °$ D、 $113 °$

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9. 为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为 $s = \frac{1}{2} g t^{2}$ （g为10米秒）．若设石头从并口落到并底用了x秒，则可列方程为（）

A、 $330 x = 5 x^{2}$ B、 $330 (6.5 + x) = 5 x^{2}$ C、 $330 (6.5 - x) = 5 x^{2}$ D、 $330 \times 6.5 = 5 x^{2}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到 $△ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，分别取边 $B C 、 A^{^{'}} C^{^{'}}$ 的中点 $P 、 Q$ ，则线段 $P Q$ 的长可能是（）

A、6 B、7 C、2 D、3

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二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若 $\sqrt{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

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12. 若关于x的方程 $x^{2} + a x - 2 = 0$ 有一个根是1，则 $a =$ .

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13. 水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为 $S_{1}^{2}$ ，该顾客选购的草莓质量的方差为 ${S_{2}}^{2}$ ，则 $S_{1}^{2}$ ${S_{2}}^{2}$ （填“>”、“=”或“<”号）

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14. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, ∠ B A D$ 的平分线与 $B C$ 交于点F ，点E是 $A F$ 的中点，连接 $O E$ ，若 $A B = 3, A D = 5$ ，则 $O E$ 长为．

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15. 古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以 $x (x + 10) = 375$ 为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为 $x + 5$ 的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为 $375 + 25 = 400$ ，即可求得 $x = 15$ ．小明用此几何法解关于x的方程 $x (x + p) = q$ ，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则 $p =$ ， $q =$ ．

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16. 在 $▱ A B C D$ 中，当 $∠ B = 45 °, A B = 6, B C = 8$ ，点E是 $A D$ 边上的中点，点F为 $C D$ 上一点，连结 $E F$ ，作 $G E ⊥ E F$ 交 $▱ A B C D$ 的边于点G ．

(1)、如图1，若G点在 $B C$ 边上， $D F = 2 \sqrt{2}$ ，则 $△ G E F$ 的面积是．

(2)、如图2，若G点在 $A B$ 边上， $D F = 3 \sqrt{2}$ ，则 $△ G E F$ 的面积是．

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三、解答题（本大题共8题，共66分．其中第17、18、19每题6分，第20、21每题8分，第22、23每题10分，第24题12分）

17. 计算：

(1)、 $\frac{1}{2} \sqrt{12} - \sqrt{27} - \frac{3}{\sqrt{3}}$ ；

(2)、 $(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$

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18. 甲、乙两位同学解方程 $2 (x - 2) = (x - 2)^{2}$ 的过程如下框：
甲： $2 (x - 2) = (x - 2)^{2}$
两边同除以 $(x - 2)$ 得：
$2 = x - 2$
则 $x = 4$
（）
乙：
移项得 $2 (x - 2) - (x - 2)^{2} = 0$
提公因式 $(x - 2) (2 - x - 2) = 0$
则 $x - 2 = 0$ 或 $2 - x - 2 = 0$
$∴ x_{1} = 2, x_{2} = 0$
（）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．

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19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．

(1)、画以点O为对称中心， $A, B$ 为顶点的 $▱ A B C D$ ；

(2)、 $▱ A B C D$ 的周长为．

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20. 为了过个有意义的寒假，某校组织学生开展“读书气自华”的主题阅读活动．新学期开学，学生会随机调查了40名学生寒假阅读时间（单位：小时）的样本数据，结果统计如下：
寒假阅读时间（小时）
10
11
12
13
14
人数
5
15
10
5
5

(1)、求出上述阅读时间样本数据的众数、中位数及平均数；

(2)、若该校学生人数为720人，请估计寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人．

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E, D F$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 于点 $E, F$ ．

(1)、求证： $B E = D F$ ；

(2)、过点E作 $E G ⊥ B C$ 于点G ，若 $▱ A B C D$ 的周长为 $36, E G = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了 $96 %$ ．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司名方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少0.2万辆/季度．

(1)、求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；

(2)、现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？

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23. 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：

探究一元三次方程根与系数的关系
素材1	一元三次方程的定义	我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ （ $b 、 c 、 d$ 为常数，且 $a \neq 0$ ）．
素材2	一元三次方程的解法	若一元三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 的左边在实数范围内可因式分解为 $a (x - p) (x - q) (x - r)$ （ $p 、 q 、 r$ 为实数），即原方程化为： $a (x - p) (x - q) (x - r) = 0$ ，则得方程的根为 $x_{1} = p, x_{2} = q, x_{3} = r$ ．
素材3	一元二次方程根与系数的关系的探究过程	设一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个根 $x_{1}, x_{2}$ ，则方程可化为 $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ ，即 $a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} = 0$ ，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
问题解决
任务1	感受新知	若关于x的三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ （ $a 、 b 、 c 、 d$ 为常数）的左边可分解为 $a (x - 1) (x + 2) (x - 3)$ ，则方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 的三个根分别为 $x_{1} =$ ▲ ， $x_{2} =$ ▲ ， $x_{3} =$ ▲ ．
任务2	探索新知	若关于x的三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ 的三个根为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，请探究 $x_{1} + x_{2} + x_{3}, x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3}$ 与系数 $a 、 b 、 c 、 d$ 之间的等量关系．
任务3	应用新知	利用上一任务的结论解决：若方程 $2 x^{3} + x^{2} - 7 x - 6 = 0$ 的三个根为 $α 、 β 、 γ$ ，求 $\frac{1}{α β} + \frac{1}{β γ} + \frac{1}{α γ}$ 的值．

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °, A B = 8, B C = 13$ 点E是边 $B C$ 上一点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠后，点B的对应点为点F．

(1)、如图1，连接 $D E$ ，若点F恰好落在边 $D E$ 上．
①求证： $A D = D E$ ；
②求 $B E$ 的长；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，若 $E F ∥ B D$ ，求 $B E$ 的长．

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寒假阅读时间（小时）	10	11	12	13	14
人数	5	15	10	5	5