2024年中考数学精选压轴题之圆(一)

试卷更新日期：2024-05-10 类型：三轮冲刺

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，将 $\overset{⌢}{B C}$ 沿 $B C$ 翻折，翻折后的弧交 $A B$ 于D．若 $B C = 4 \sqrt{5}$ ， $s i n ∠ A B C = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{25}{6} π - 2$ B、 $\frac{25}{3} π - 2$ C、8 D、10

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2. 如图，已知点C在以 $A B$ 为直径，O为圆心的半圆上， $A B = 4$ ，以 $B C$ 为边作等边 $△ B C D$ ，则 $A D$ 的最大值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $2 + 2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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3. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，在BC上取点F ，使得CF＝CE ，连结AF交CD于点G ，连结AD ．若CG＝GF ，则 $\frac{B C^{2}}{A D^{2}}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 3}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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4. 如图， $⊙ M$ 的圆心M在一次函数 $y = \frac{3}{5} x + 3$ 位于第一象限中的图象上， $⊙ M$ 与y轴交于C、D两点，若 $⊙ M$ 与x轴相切，且 $C D = 2 \sqrt{11}$ ，则 $⊙ M$ 半径是（）

A、 $\frac{27}{8}$ 或5 B、5或6 C、 $\frac{27}{8}$ 或6 D、5

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5. 如图， $⊙ M$ 的半径为2，圆心M的坐标为 $(3 ， 4)$ ，点P是 $⊙ M$ 上的任意一点， $P A ⊥ P B$ ，且 $P A 、 P B$ 与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则 $A B$ 的最大值为（　　）

A、9 B、10 C、12 D、14

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6. 如图，在 $⊙ A$ 中，弦BC，ED所对的圆心角分别是 $∠ B A C ， ∠ E A D$ ， $∠ B A C$ 与 $∠ E A D$ 互补，已知 $B C = 8 ， D E = 6$ .当 $B C / / D E$ 时，弦BC与DE之间的距离等于（）.

A、7 B、1或7 C、 $\frac{\sqrt{41} + \sqrt{34}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{41} + \sqrt{34}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{41} - \sqrt{34}}{2}$

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7. 如图所示，AB为 $⊙ O$ 的直径， $A B = A C ， B C$ 交 $⊙ O$ 于点D，AC交 $⊙ O$ 于点 $E ， ∠ B A C = 4 5^{°}$ ，给出以下结论：① $∠ E B C = 22 . 5^{°}$ ；② $B D = D C$ ；③ $A E =$ 2EC；④ $\overset{⌢}{A E}$ 的长度是 $\overset{⌢}{D E}$ 的2倍.其中正确的是（）.

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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8. 如图， $△ A B C$ 内接于半径为 $2 \sqrt{5}$ 的半圆 $O$ 中， $A B$ 为直径，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连结 $B M$ 交 $A C$ 于点 $E$ ， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B M$ 于点 $D$ ， $D$ 为 $B M$ 的中点，可得（    ）

① $∠ A D B = 135 °$     ② $B C = \frac{12}{5} \sqrt{5}$     ③ $A D = 2 \sqrt{2}$     ④ $t a n ∠ C A B = \frac{3}{4}$

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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9. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时， $\frac{C F}{A D}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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10. 如图，将 $⊙ O$ 的圆周分成五等分（分点为A、B、C、D、E），依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形.小张在制图过程中，惊讶于图形的奇妙，于是对图形展开了研究，得到：点M是线段AD、BE的黄金分割点，也是线段NE、AH的黄金分割点.在以下结论中，不正确的是（）

A、 $\frac{M N}{A M} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{F D}{A D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、 $B N = N M = M E$ D、 $∠ A = 36 °$

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11. 已知 $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $⊙ O$ 半径为 $R$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高， $E$ 是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点， $E F$ 与 $⊙ O$ 切于 $E$ ，交 $A C$ 的延长线于 $F$ ，则下列结论：① $A C \cdot A B = 2 R \cdot A D$ ；②EF∥BC；③ $C F \cdot A C = E F \cdot C M$ ；④ $\frac{C M}{B M} = \frac{s i n B}{s i n F}$ ．其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④ C、②③④ D、①②③④

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12. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{10} - 6$ B、 $3 \sqrt{26} - 10$ C、 $4 \sqrt{6} - 4$ D、 $4 \sqrt{13} - 8$

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ 且 $∠ A C B = 90 °$ ，弦 $C D$ 平分 $∠ A C B$ ，连接 $A D$ ， $B D .$ 若 $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，则 $B D =$ ， $C D =$ ．

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14. 如图，已知A ， B两点的坐标分别为（8，0），（0，－6），⊙C的圆心坐标为（0，7），半径为5，若P是⊙C上一个动点，线段PB与x轴交于点D ，则△ABD面积的最大值是．

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15. 如图，AB为弓形AB的弦，AB＝2 $\sqrt{3}$ ，弓形所在圆⊙O的半径为2，点P为弧AB上动点，点I为△PAB的内心，当点P从点A向点B运动时，点I移动的路径长为.

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16. 如图所示， $△ A B C$ 内接于半径为 $\sqrt{5}$ 的半圆 $O$ 中，AB为直径，点 $M$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，连结BM交AC于点E，AD平分 $∠ C A B$ 交BM于点 $D ， ∠ A D B =$ $13 5^{°}$ ，且 $D$ 为BM的中点，则DM的长为， BC的长为.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 70 ° ， △ A B C$ 的内切圆 $⊙ O$ 与 $A B ， B C$ 分别相切于点 $D$ ， $E$ ，连接 $D E ， A O$ 的延长线交 $D E$ 于点 $F$ ，则 $∠ A F D =$ ．

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18. 如图，四边形ABCD内接于⊙O ， AC为⊙O的直径，∠ACD+∠BCD＝180°，连接OD ，过点D作DE⊥AC ， DF⊥BC ，垂足分别为点E、点F ，则下列结论正确的是． ①∠AOD＝2∠BAD；②∠DAC＝∠BAC；③DF与⊙O相切；④若AE＝4，EC＝1，则BC＝3．

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三、解答题（共6题，共46分）

19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $A C$ 于点D ，过点O作 $A C$ 的平行线 $O E$ ，交 $B C$ 于点E ，作射线 $D E$ 交 $A B$ 的延长线于点F ，连接 $B D$ ．

(1)、求证： $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A D = 3 C D$ ， $C D = 3$ ，求图中阴影部分的面积．

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20. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，直径 $A E ⊥ B C$ 于点F ．

(1)、如图1，求证： $∠ A D C - ∠ B A E = 90 °$ ；

(2)、如图2，连接 $B D$ ，若 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，过点D作 $D H ⊥ B C$ 于点H ，求证： $B H = H C + A B$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，连接 $D E$ 交 $F C$ 于点G ，若 $A B = 10$ ， $A F = 8 H C$ ，求 $E G$ 的长．

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21. 如图1，将 $R t △ A B C$ 的顶点C放在 $⊙ O$ 上，边 $B C$ 与 $⊙ O$ 相切于点C ，边 $A C$ 与 $⊙ O$ 交于点D ．已知 $∠ B C A = 60 °$ ， $∠ B = 90 °$ ， $B C = 6$ ， $⊙ O$ 的直径为8．

(1)、如图1，过点O作 $O M ⊥ C D$ 于点M ，求 $C M$ 的长度；

(2)、从图1的位置开始，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转，设旋转角为 $α$ （ $0 ° \leq α \leq 360 °$ ）．
①如图2，当 $α = 20 °$ 时，边 $B C$ 与 $⊙ O$ 的另一交点为E ，求 $\overset{⌢}{C E}$ 的长度；
②如图3，当 $A C$ 经过圆心O时，试判断 $A B$ 与 $⊙ O$ 之间的位置关系，并说明理由；
③在旋转过程中，直接写出点O到边 $A B$ 的距离h的取值范围．

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22. 如图1，在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，以点 $M$ 为圆心，5为半径的圆与坐标轴分别交于点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ．

(1)、 $△ A O D$ 与 $△ C O B$ 相似吗？为什么？

(2)、如图2，弦 $D E$ 交 $x$ 轴于点 $P$ ，且 $B P ： D P = 3 ： 2$ ，求 $t a n ∠ E D A$ ；

(3)、如图3，过点 $D$ 作 $⊙ M$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $Q$ ．点 $G$ 是 $⊙ M$ 上的动点，问比值 $\frac{G O}{G Q}$ 是否变化？若不变，请求出比值；若变化，请说明理由．

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23. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B ⊥ C D$ ，垂足为E ，点M在 $O C$ 上， $A M$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点G ，交过C的直线于F ， $∠ 1 = ∠ 2$ （即： $∠ B C F = ∠ B C D$ ），连接 $C B$ 与 $D G$ 交于点N ．

(1)、求证： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $\frac{C M}{C N} = \frac{A C}{C D}$ ；

(3)、若点M是 $O C$ 的中点， $⊙ O$ 的半径长为4， $E O = 1$ ，求 $B N$ 的长．

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24. 如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AD上存在点E，满足 $\hat{A E} = \hat{C D} ，$ 连结BE并延长，交CD的延长线于点F，BE与AD相交于点G.

(1)、若∠DBC=α，请用含α的代数式表示∠AGB.

(2)、如图2，连结CE，CE=BG.求证：EF=DG.

(3)、如图3，在(2)的条件下，连结CG，AD=2.
①若 $t a n ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2} ，$ 求△FGD的周长.
②求CG的最小值.

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