2024年中考数学精选压轴题之四边形综合探究(一)

试卷更新日期：2024-05-10 类型：三轮冲刺

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一、解答题

1. 如图，已知正方形ABCD ， AB＝8，点M为射线DC上的动点，射线AM交BD于E ，交射线BC于F ，过点C作CQ⊥CE ，交AF于点Q ．

(1)、当BE＝2DE时，求DM的长．

(2)、当M在线段CD上时，若CQ＝3，求MF的长．

(3)、①当DM＝2CM时，作点D关于AM的对称点N ，求tan∠NAB的值．
②若BE＝4DE ，直接写出△CQE与△CMF的面积比．

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2. 对于一个四边形给出如下定义：有一组对角相等且有一组邻边相等，则称这个四边形为奇特四边形．

(1)、命题“另一组邻边也相等的奇特四边形为正方形”是（真或假）命题．

(2)、如图，在正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是AD延长线一点， $B E = D F$ ，连接EF ， EC ， FC ，取EF的中点G ，连接CG并延长交AD于点H ．探究：四边形BCGE是否是奇特四边形，如果是证明你的结论，如果不是请说明理由．

(3)、在（2）的条件下，若四边形BCGE的面积为16，则 $B C + B E$ 的值是多少？

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3. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ，交 $B C$ 于点E ，且 $∠ A D C = 60 °$ .

(1)、求证： $A B = A E$ ；

(2)、若 $\frac{A B}{B C} = m (0 < m < 1)$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ，连接 $O E$ ；
①若 $m = \frac{1}{2}$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的面积；
②设 $\frac{S_{四边形 O E C D}}{S_{△ A O D}} = k$ ，试求k与m满足的关系.

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4. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = a$ ， $B C = b$ ， $∠ B A D = 120 °$ ．

(1)、若 $a = b = 2$ ，则 $B D =$ ；

(2)、如图 $1$ ，当 $a = 2$ 时，求对角线 $B D$ 的长（用含 $b$ 的式子表示）；

(3)、如图 $2$ ，四边形 $B C E F$ ，四边形 $A F E D$ 都是平行四边形，延长 $A F$ 交 $B E$ 于点 $G$ ，若 $A G ⊥ B E$ ， $A B = 3$ ， $B C = 2$ ， $A F = 1$ ，求 $B E$ 的长．

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5. 在△ABC中，AC＝BC ，点D是边AB上不与点B重合的一动点，将△BDC绕点D旋转得到△EDF ，点B的对应点E落在直线BC上，EF与AC相交于点G ，连接AF ．

(1)、如图1，当点D与点A重合时，
①求证：∠C＝∠CEF；
②判断AF与BC的位置关系是 ▲ ；

(2)、如图2，当点D不与点A重合，点E在边BC上时，判断AF与BC的位置关系，并写出证明过程；

(3)、如图3，当点D是AB的中点，点E在边BC上时，延长BA ， CF相交于点P ，若AB＝CD＝2，求PF的长．

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6. 如图 $①$ ，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 6$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，且 $B E = 2$ ，动点 $P$ 从点 $E$ 出发，沿折线 $E B - B A - A D$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度运动，作 $∠ P E Q = 90 °$ ， $E Q$ 交边 $A D$ 或边 $D C$ 于点 $Q$ ，连接 $P Q$ ，当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，点 $P$ 停止运动 $.$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $. (t > 0)$

(1)、当点 $P$ 和点 $B$ 重合时，线段 $P Q$ 的长为；

(2)、当点 $Q$ 和点 $D$ 重合时，求 $\frac{P E}{Q E}$ 的比值是多少？

(3)、当点 $P$ 在边 $A D$ 上运动时， $△ P Q E$ 的形状始终是等腰直角三角形，如图 $②$ ，请说明理由；

(4)、作点 $E$ 关于直线 $P Q$ 的对称点 $F$ ，连接 $P F$ 、 $Q F$ ，当四边形 $E P F Q$ 和矩形 $A B C D$ 重叠部分图形为轴对称四边形时，请直接写出 $t$ 的取值范围．

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7. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O .$ 点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A D$ 方向匀速运动速度为 $1 c m / s$ ；同时，点 $Q$ 从点 $D$ 出发，沿 $D C$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动 $.$ 连接 $P O$ 并延长交 $B C$ 于点 $E$ ，过点 $Q$ 作 $Q F / / A C$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ，设运动时间为 $t (s) (0 < t < 6)$ ，解答下列问题：

(1)、当 $t$ 为何值时， $△ A O P$ 是等腰三角形；

(2)、设五边形 $O E C Q F$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，试确定 $S$ 与 $t$ 的函数关系式；

(3)、在运动过程中，当 $S_{五边形 O E C Q F}$ ： $S_{△ A C D} = 9$ ： $16$ 时 $.$ 直接写出 $t$ 的值．

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8. 已知：在矩形 $A B C D$ 中，把矩形 $A B C D$ 绕点 $C$ 旋转，得到矩形 $F E C G$ ，且点 $E$ 落在 $A D$ 边上，连接 $B G$ 交 $C E$ 于点 $H$ ．

(1)、如图 $1$ ，连接 $B E$ ．
$①$ 求证： $B E$ 平分 $∠ A E C$ ；
$②$ 求证： $H$ 是 $B G$ 的中点；

(2)、如图 $2$ ，连接 $F H$ ，若 $F H$ 平分 $∠ E F G$ ， $C H = 2$ ，求 $A E$ 的长．

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9. 在 $△ A B C$ 中，B在C的左边， $B A = B C = 3$ ，将 $△ A B C$ 关于 $A C$ 作轴对称，得四边形 $A B C D$ ． P是对角线 $A C$ 上的动点， E是直线 $B C$ 上的动点，且 $P E = P B$ ．

(1)、四边形 $A B C D$ 如图1所示，四边形 $A B C D$ 是（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）； $∠ D P E$ $∠ A B C$ （填“ $=$ ”或“ $\neq$ ”）；

(2)、四边形 $A B C D$ 如图2所示，且 $∠ A B C = 90 °$ ，四边形 $A B C D$ 是 ▲ （填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中 $∠ D P E$ 与 $∠ A B C$ 之间的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由．

(3)、四边形 $A B C D$ 如图3所示，若 $∠ A C B = α$ ， $∠ P E B = β$ ，请直接写出 $∠ D P B$ 的度数．（用含 $α$ 、 $β$ 的代数式表示）

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10. 如图1，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是射线 $B C$ 上一动点，连接 $A E$ ，以 $A E$ 为边在直线 $A E$ 右侧作正方形 $A E F G$ ．
图1 图2

(1)、当点 $E$ 在线段 $B C$ 上，连接 $D G$ ，求证： $B E = D G$ ；

(2)、当点 $E$ 是线段 $B C$ 中点，连接 $C F$ ，求线段 $C F$ 的长；

(3)、如图2，点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上，连接 $B G$ ，若 $E D$ 的延长线恰好经过 $B G$ 的中点 $P$ ，求线段 $E P$ 的长．

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，点E是 $B C$ 边上一点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠得到 $△ A F E$ ，边 $A F$ ， $E F$ 分别交 $C D$ 于点M ， N ．

(1)、求证： $△ A D M ∽ △ N C E$ ；

(2)、当 $C E = F M$ 时．
①求BE的长；
②若点P是 $A B$ 边上的动点，连接 $P F$ ，过点A作 $P F$ 的垂线交线段 $B E$ 于点Q ，试探究 $\frac{P F}{A Q}$ 的值是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出 $\frac{P F}{A Q}$ 的值．

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12. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A B D$ 分别位于 $A B$ 两侧， $E$ 为 $A D$ 中点，连接 $B E$ ， $C E$ ．

(1)、如图1，若 $∠ B A C = ∠ A B D = 90 ° ， A C = 3 ， A B = B D = 4$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、如图2，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点F，在 $C F$ 上取一点G使得 $F G = A F$ ．若 $A C = A D$ ， $B D = B F ， ∠ B D F = 60 °$ ．猜想 $B C$ 与 $B E$ 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)、如图3， $△ A B C$ 是以 $A B$ 为斜边的等腰直角三角形，若 $A B = 4$ ， $B D = 2$ ，请直接写出当 $2 C E - A E$ 取最大值时 $△ A C E$ 的面积．

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二、实践探究题

13.

(1)、【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是；

(2)、【类比探究】
如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE．判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、【拓展提升】
如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为．

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14. 综合与实践

(1)、【思考尝试】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $G D ⊥ D F$ ， $A G ⊥ D G$ ， $A G = C F$ ．试猜想四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、【实践探究】
小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $D F ⊥ C E$ 于点F， $A H ⊥ C E$ 于点H， $G D ⊥ D F$ 交 $A H$ 于点G，可以用等式表示线段 $F H$ ， $A H$ ， $C F$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题；

(3)、【拓展迁移】
小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A B$ 上一点， $A H ⊥ C E$ 于点H，点M在 $C H$ 上，且 $A H = H M$ ，连接 $A M$ ， $B H$ ，可以用等式表示线段 $C M$ ， $B H$ 的数量关系，请你思考并解答这个问题．

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15. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)、问题发现：如图1， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ．点P是底边 $B C$ 上一点，连接 $A P$ ，以 $A P$ 为腰作等腰 $R t △ A P Q$ ，且 $∠ P A Q = 90 °$ ，连接 $C Q$ 、则 $B P$ 和 $C Q$ 的数量关系是；

(2)、变式探究：如图2， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ．点P是腰 $A B$ 上一点，连接 $C P$ ，以 $C P$ 为底边作等腰 $R t △ C P Q$ ，连接 $A Q$ ，判断 $B P$ 和 $A Q$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、问题解决：如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是边 $B C$ 上一点，以 $D P$ 为边作正方形 $D P E F$ ，点 $Q$
是正方形 $D P E F$ 两条对角线的交点，连接 $C Q$ ．若正方形 $D P E F$ 的边长为 $2 \sqrt{10}$ ， $C Q = 2 \sqrt{2}$ ，请直接写出正方形 $A B C D$ 的边长．

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16. 综合与探究．

(1)、【特例感知】
如图（a），E是正方形ABCD外一点，将线段AE绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到AF ，连接DE ， BF ．求证： $D E = B F$ ；

(2)、【类比迁移】
如图（b），在菱形ABCD中， $A B = 4, ∠ B = 60 °$ ， P是AB的中点，将线段PA ， PD分别绕点P顺时针旋转 $90 °$ 得到PE ， PF ， PF交BC于点G ，连接CE ， CF ，求四边形CEGF的面积：

(3)、【拓展提升】
如图（c），在平行四边形ABCD中， $A B = 12, A D = 10, ∠ B$ 为锐角且满足 $s i n B = \frac{4}{5}$ ． P是射线BA上一动点，点C ， D同时绕点P顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $C^{'}$ ， $D^{'}$ ，当 $△ B C^{'} D^{'}$ 为直角三角形时，直接写出BP的长．

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17. 【操作与发现】
如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．

(1)、【实践探究】在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，正方形ABCD的边长是．

(2)、如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN= $\frac{1}{3}$ ，，求证：M是CD的中点．

(3)、【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是．

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18. 问题提出：如图（1）， $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点， $△ A E F$ 是等腰三角形， $A E = E F$ ， $∠ A E F = ∠ A B C = α (α \geq 90 °)$ ， $A F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，探究 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系．问题探究：

(1)、先将问题特殊化，如图（2），当 $α = 90 °$ 时，直接写出 $∠ G C F$ 的大小；

(2)、再探究一般情形，如图（1），求 $∠ G C F$ 与 $α$ 的数量关系；

(3)、问题拓展将图（1）特殊化，如图（3），当 $α = 120 °$ 时，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

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19.

(1)、【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P ，求证：AF＝BG；

(2)、【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P ．若EG•HF＝48，求HF的长；

(3)、【拓展应用】如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，点E在直线AB上，BE＝4，AF⊥DE交直线BC于点F ．请直接写出线段FC的长．

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20.
【活动探究】在数学课上，老师出示了一个问题：如图1，在菱形ABCD中， $∠ B = 6 0^{°}, A B = 6$ ，点E，F分别是BC，CD边上一点，若 $∠ E A F = 6 0^{°}$ ，试猜想 $△ A E F$ 的形状，不用证明．
【尝试实践】小美受此启发，她尝试将“ $∠ E A F = 6 0^{°}$ ”改为“ $∠ A F E = 6 0^{°}$ ”，通过测量验证发现猜想仍然成立，并进一步思考证法：如图2，过点 $F$ 作 $F H / / A C$ ，求证 $△ A H F ≅ △ F C E \dots \dots$
请你按照小美的思路进一步思考，并解答这个问题．
【拓展应用】小玲在老师问题上进一步改编：如图3，过 $C$ 作 $C G ⊥ A B$ 于点 $G$ ，当EF的中点 $M$ 经过CG时，请直接写出EF的长度．

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21. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1)、概念理解：如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = 9 0^{∘} ， A B = 3 ， A C = 4 ， B D = 2 ， C D = \sqrt{21}$ ，说明 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形．

(2)、问题探究：如图2， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，E、F分别是 $A D$ 、 $B C$ 的中点，连结 $E F$ ，求证 $E F ⊥ A D$ ．

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，且 $B D = C D$ ，连结 $A D$ ，求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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22. 综合与探究
问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动 $.$ 已知正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ，点 $E$ 是射线 $C D$ 上一点 $($ 不与点 $C$ 重合 $)$ ，连接 $B E .$ 将 $B E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $F E$ ，连接 $D F$ ．

(1)、特例分析：如图 $1$ ，当点 $E$ 与点 $D$ 重合时，求 $∠ A D F$ 的度数；

(2)、深入探究：当点 $E$ 不与点 $D$ 重合时， $(1)$ 中的结论是否仍然成立？若成立，请在图 $2$ 与图 $3$ 中选择一种情况进行证明：若不成立，请说明理由；

(3)、问题解决：如图 $4$ ，当点 $E$ 在线段 $C D$ 上，且 $D F = D A$ 时，请直接写出线段 $B F$ 的长．

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23. 定义：长宽比为 $\sqrt{n} ： 1$ （n为正整数）的矩形称为 $\sqrt{n}$ 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个 $\sqrt{2}$ 矩形，如图①所示．
操作1：将正方形 $A B C D$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，使折叠后的点 $C$ 落在对角线 $B D$ 上的点 $G$ 处，折痕为 $B H$ ．
操作2：将 $A D$ 沿过点 $G$ 的直线折叠，使点 $A$ ，点 $D$ 分别落在边 $A B$ ， $C D$ 上，折痕为 $E F$ ．
则四边形 $B C E F$ 为 $\sqrt{2}$ 矩形．
证明：设正方形 $A B C D$ 的边长为1，则 $B D = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}$ ．
由折叠性质可知 $B G = B C = 1$ ， $∠ A F E = ∠ B F E = 90 °$ ，则四边形 $B C E F$ 为矩形，
∴ $∠ A = ∠ B F E$ ， ∴ $E F ∥ A D$ ．
∴ $\frac{B G}{B D} = \frac{B F}{A B}$ ，即 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{B F}{1}$ ， ∴ $B F = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ， ∴ $B C ： B F = 1 ： \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} ： 1$ ，
∴四边形 $B C E F$ 为 $\sqrt{2}$ 矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：

(1)、在图①中，所有与 $C H$ 相等的线段是、， $t a n ∠ H B C$ 的值是；

(2)、已知四边形 $B C E F$ 为 $\sqrt{2}$ 矩形，模仿上述操作，得到四边形 $B C M N$ ，如图②，求证：四边形 $B C M N$ 为 $\sqrt{3}$ 矩形；

(3)、将图②中的 $\sqrt{3}$ 矩形 $B C M N$ 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“ $\sqrt{n}$ 矩形”，则 $n$ 的值是．

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24. 【提出问题】如图 $1$ ，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边作等边 $△ A B E$ 和等边 $△ A C D$ ， $D C$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ，连接 $C E$ ．

(1)、【初步探究】如图 $1$ ，连接 $D B$ ，求证： $△ A D B$ ≌ $△ A E C$ ．

(2)、【深入探究】如图 $2$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折得到 $△ A D^{'} C$ ，连接 $D^{'} E$ ， $B D^{'}$ ，类比 $(1)$ 的探究方法发现：
结论 $①$ ：_▲_≌ $△ A B C$ ；
结论 $②$ ： $B D^{'} / / C E$ ．
请证明结论 $②$ ．

(3)、如图 $3$ 、在 $(2)$ 的情况下将线段 $A B$ 沿 $A E$ 翻折得到线段 $A B^{'}$ ，连接 $B^{'} D^{'}$ ， $A F$ ，试判断线段 $B^{'} D^{'}$ 与 $A F$ 的位置关系．

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