2024年中考数学精选压轴题之平行四边形与特殊的平行四边形

试卷更新日期：2024-05-10 类型：三轮冲刺

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ +2 B、5- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3- $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$ +1

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2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）

A、当 t＝4s 时，四边形 ABMP 为矩形 B、当 t＝5s 时，四边形 CDPM 为平行四边形 C、当 CD＝PM 时，t＝4s D、当 CD＝PM 时，t＝4s 或6s

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3. 如图，直角三角形 $B E F$ 顶点 $F$ 在矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上运动，连接 $A E$ ． $∠ E B F = ∠ A C D$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，则 $A E$ 的最小值为（）．

A、 $\frac{54}{25}$ B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{72}{25}$

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以 $A B$ 、 $A C$ 为边向外作正方形 $A B D E$ 、 $A C F G$ ，连结 $D A$ 并延长交 $F G$ 于点H ，连结 $C H$ ．若 $t a n ∠ H C F = k (0 < k < 1)$ ，则 $\frac{A B}{B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1 - k}{1 + k}$ B、 $\frac{\sqrt{1 - k^{2}}}{1 + k}$ C、 $\frac{k}{1 + k^{2}}$ D、 $\frac{k}{2 - k}$

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5. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $Δ B P C$ 是等边三角形， $B P$ ， $C P$ 的延长线分别交 $A D$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $B D$ ， $D P$ ； $B D$ 与 $C F$ 相交于点 $H$ ．给出下列结论：① $A E = \frac{1}{2} F C$ ；② $∠ P D E = 15 °$ ；③ $\frac{S_{Δ P B C}}{S_{Δ P C D}} = \sqrt{3}$ ；④ $\frac{S_{Δ D H C}}{S_{Δ B H C}} = \frac{1}{2}$ ；⑤ $D E^{2} = P F \cdot F C$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{1}{3} x + \frac{13}{3}$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $P$ 、 $Q$ ，在 $R t △ O P Q$ 中从左向右依次作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} C_{2}$ 、 $A_{2} B_{2} C_{2} C_{3}$ 、 $A_{3} B_{3} C_{3} C_{4} \dots A_{n} B_{n} C_{n} C_{n + 1}$ ，点 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3} \dots A_{n}$ 在 $x$ 轴上，点 $B_{1}$ 在 $y$ 轴上，点 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 、 $C_{3} \dots C_{n + 1}$ 在直线 $P Q$ 上；再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，其中每个小正方形的边都与坐标轴平行，从左至右的小正方形 $($ 阴影部分 $)$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3} \dots S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 可表示为 $()$

A、 $\frac{3^{2 n - 2}}{4^{2 n - 3}}$ B、 $\frac{3^{n - 1}}{4^{n - 2}}$ C、 $\frac{3^{n}}{4^{n - 1}}$ D、 $\frac{3^{2 n}}{4^{2 n - 1}}$

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7. 如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF，下列四个结论：①CE=CB；②AE= $\sqrt{2}$ OE；③OF= $\frac{1}{2}$ CG，其中正确的结论只有（）

A、①②③ B、②③ C、①③ D、①②

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8. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACEF和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC＋BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是（）

A、16 B、15 C、 $\frac{66}{5}$ . D、 $\frac{99}{5}$

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9. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3 $\sqrt{2}$ ；③CF²＝GE•AE；④S_△_ADM＝6 $\sqrt{2}$ ．
其中正确的是（　　）

A、①② B、②③④ C、①③④ D、①③

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B < B C$ ，点 $E ， F$ 分别在 $C D ， A D$ 边上，且 $Δ B C E$ 与 $Δ B F E$ 关于直线 $B E$ 对称.点 $G$ 在 $A B$ 边上， $G C$ 分别与 $B F ， B E$ 交于 $P ， Q$ 两点.若 $\frac{A B}{B C} = \frac{4}{5}$ ， $C E = C Q$ ，则 $\frac{G P}{C Q} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{7}{8}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{9}{10}$

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11. 如图，把菱形 $A B C D$ 向平移至 $D C E F$ 的位置，作 $E G ⊥ A B$ ，垂足为 $G ， E G$ 与 $C D$ 相交于点 $M ， G D$ 的延长线交 $E F$ 于点 $H$ ，连接 $D E$ ，则下列结论：① $D G = D E$ ；② $∠ D H E = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ；③ $E F + F H = 2 M C$ ；④ $△ C D E ∽ △ D E H$ ，则正确的结论有（）个

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 如图，边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正方形ABCD ，对角线AC ， BD相交于O ， E为BC边上一动点（不与B ， C重合），OF⊥OE交CD于F ， G为EF中点．给出如下四个结论：①∠OEF＝45°；②点E在运动过程中，△OEF面积不变化；③△CEF周长的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ；④点E在运动过程中，OG与CG始终相等，其中正确的结论是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、①③④

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿着 $B E$ 翻折得到 $△ F B E$ ， $E F$ 交 $B C$ 于点 $H$ ，延长 $B F$ ， $D C$ 相交于点 $G$ ，若 $D G = 8$ ， $B C = 12$ ，则 $E H =$ ．

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 中，M、N分别是 $A D$ 、 $B C$ 边上的点，将四边形 $A B N M$ 沿直线 $M N$ 翻折，使得点A、B分别落在点 $A^{'}$ 、 $B^{'}$ 处，且点 $B^{'}$ 恰好为线段 $C D$ 的中点， $A^{'} B^{'}$ 交 $A D$ 于点G ，作 $D P ⊥ M N$ 于点P ，交 $A^{'} B^{'}$ 于点Q ．若 $A G = 8$ ，则 $P Q =$ ．

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15. 在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 120 °$ ，点P是对角线 $B D$ 上一动点，点Q是 $A D$ 边上一动点， $D P$ 与 $A Q$ 始终相等，连结 $A P 、 B Q$ ，交点为E ，连结 $C E$ ，则 $t a n ∠ D C E$ 的最小值是．

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16. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $Δ A E F$ 为等腰 $R t$ △，且 $∠ A E F = 90 °$ ，点 $E$ 在线段 $B C$ 上，点 $F$ 在线段 $C D$ 上，若 $3 (A B + B E) = 2 (A D + D F)$ ，则 $\frac{S_{Δ A E F}}{S_{长方形 A B C D}} =$ ．

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17. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，E、F分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的中点， $G$ 为 $D E$ 上一点，若 $A B = 4$ ， $∠ B = ∠ E G F = 60 °$ ，则 $D G$ 的长为

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18. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A D = 4$ ， $∠ A = 45 °$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ ，点 $P$ 在菱形的边上，若 $D E = D P$ ，则 $C P$ 的长为．

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三、解答题（共6题，共46分）

19. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点E在 $B C$ 边上，且 $A D = D E$ ， F为线段 $D E$ 上一点，且 $∠ A F E = ∠ B$ .

(1)、求证： $∠ A F D = ∠ E C D$ ；

(2)、求证： $△ A F D ≅ △ D C E$ ；

(3)、若 $∠ B = 60 °$ ， $C D = D F$ ， $B E = 2$ ，连结 $A E$ ，求 $A E$ 的长度.

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20. 如图①，在平行四边形ABCD中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45 °$ ，点E为BC中点，动点P从点E出发，沿折线 $E B - B A$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度运动．作 $∠ P E Q = 90 °$ ， EQ交边AD或边DC于点Q ，连接PQ ．当点P与点A重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒．（ $t > 0$ ）

(1)、当P在AB上运动时，用含t的式子表示出线段BP的长；

(2)、当Q落在CD的中点时，求t的值；

(3)、若Q不与顶点重合，当Q落在平行四边形ABCD的某一内角平分线上时，求 $t a n ∠ B E P$ 的值；

(4)、作点E关于直线PQ的对称点F ，连接PF、QF ，当四边形EPFQ和平行四边形ABCD重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出t的取值范围．

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21. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，若点D在 $B C$ 边上运动时，总保持 $∠ A D E = ∠ B$ ，连接 $C E, D E$ 与 $A C$ 交于点F ．

(1)、①如图1，当点D为 $B C$ 边中点时，则 $\frac{C E}{B C}$ 的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为 $B C$ 边中点时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当点D在 $B C$ 边上运动中恰好使得 $A E ∥ B C$ 时，若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，求 $D F$ 的长．

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22. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 c m$ ， $B C = 12 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 以 $1 c m / s$ 的速度向点 $B$ 移动；同时，点 $Q$ 从点 $B$ 出发沿 $B C$ 以 $2 c m / s$ 的速度向点 $C$ 移动，当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、在运动过程中， $P Q$ 的长度能否为 $3 \sqrt{5} c m$ ？若能，求出 $t$ 的值，若不能，请说明理由；

(2)、在运动过程中， $△ P D Q$ 的面积能否为 $8 c m^{2}$ ？若能，求出 $t$ 的值，若不能，请说明理由；

(3)、取 $P Q$ 的中点 $M$ ，运动过程中，当 $∠ A M D = 90 °$ 时，求 $t$ 的值；

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23. 已知：在矩形 $A B C D$ 中，把矩形 $A B C D$ 绕点 $C$ 旋转，得到矩形 $F E C G$ ，且点 $E$ 落在 $A D$ 边上，连接 $B G$ 交 $C E$ 于点 $H$ ．

(1)、如图 $1$ ，连接 $B E$ ．
$①$ 求证： $B E$ 平分 $∠ A E C$ ；
$②$ 求证： $H$ 是 $B G$ 的中点；

(2)、如图 $2$ ，连接 $F H$ ，若 $F H$ 平分 $∠ E F G$ ， $C H = 2$ ，求 $A E$ 的长．

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24.

(1)、如图1，已知正方形AEFG与正方形ABCD ，将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，求证： $B E = D G$ ，且 $B E ⊥ D G$ ；

(2)、如图2，将（1）中的两个正方形分别改成矩形AEFG和矩形ABCD ，且 $\frac{A E}{A G} = \frac{A B}{A D} = \frac{2}{3}$ ， $A E = 2$ ， $A B = 4$ ，将矩形AEFG绕点A顺时针方向旋转，连接DE ， BG ，在旋转过程中， $D E^{2} + B G^{2}$ 的值是定值，请求出这个定值．

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