2024年中考数学精选压轴题之方程类综合应用

试卷更新日期：2024-05-10 类型：三轮冲刺

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 若二次根式 $\sqrt{2 - m}$ 有意义，且关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x}$ +2＝ $\frac{3}{x - 1}$ 有正数解，则符合条件的整数m的和是（）

A、﹣7 B、﹣6 C、﹣5 D、﹣4

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2. 若关于x ， y的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解是 ${\begin{array}{l} x = 2 \\ y = - 3 \end{array}$ ，则关于m ， n的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} a_{1} (m - n) + b_{1} (m + n) = c_{1} \\ a_{2} (m - n) + b_{2} (m + n) = c_{2} \end{array}$ 的解是（　　）

A、 ${\begin{array}{l} m = - \frac{1}{2} \\ n = - \frac{5}{2} \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} m = - \frac{1}{2} \\ n = \frac{5}{2} \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} m = - \frac{5}{2} \\ n = \frac{1}{2} \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} m = \frac{5}{2} \\ n = \frac{1}{2} \end{array}$

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3. 已知关于x，y的方程组 ${\begin{array}{l} x + 2 y = 6 - 3 a \\ x - y = 6 a \end{array}$ ，给出下列说法：
①当 $a = 1$ 时，方程组的解也是 $x + y = a + 3$ 的解；
②若 $2 x + y = 3$ ，则 $a = - 1$ ；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若分式方程 $\frac{a x}{x - 3} + \frac{3}{3 - x} = 2$ 无解，则 $a$ 的值是（）

A、 $3$ 或 $2$ B、 $1$ C、 $1$ 或 $3$ D、 $1$ 或 $2$

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5. 如图，线段 $A B = 24 cm$ ，动点P从A出发，以 $2 cm/s$ 的速度沿 $A B$ 运动，M为 $A P$ 的中点，N为 $B P$ 的中点．以下说法正确的是（    ）
①运动 $4 s$ 后， $P B = 2 A M$ ；   ② $P M + M N$ 的值随着运动时间的改变而改变；③ $2 B M - B P$ 的值不变；
④当 $A N = 6 P M$ 时，运动时间为 $2.4 s$ ．


A、①② B、②③ C、①②③ D、②③④

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6. 图①是一张长 $28 c m$ ，宽 $16 c m$ 的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为 $80 c m^{2}$ 的有盖长方体盒子．设该盒子的高为 $x c m$ ，根据题意，可列方程为（）

A、 $(28 - 2 x) (16 - 2 x) = 80$ B、 $(28 - 2 \times 2 x) (16 - 2 x) = 80$ C、 $(\frac{1}{2} \times 28 - 2 x) (16 - 2 x) = 80$ D、 $\frac{1}{2} (28 - 2 x) (16 - 2 x) = 80$

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7. 我国古代的“九宫图”是由 $3 \times 3$ 的方格构成的，每个方格均有不同的数，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算 $x$ 的值是（）

$2025$

$x$

$2$

$3$

A、 $2020$ B、 $- 2020$ C、 $2019$ D、 $- 2019$

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8. 如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM ，分别交AB、AC于D ， E两点，设BD=a ， DE=b ， CE=c ，关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （）

A、一定有两个相等实根 B、一定有两个不相等实根 C、有两个实根，但无法确定是否相等 D、无实根

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9. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{16}{x (x - 4)} + \frac{2}{x} = \frac{a}{x - 4}$ 有正整数解，且使得关于 $y$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{y + 1}{2} - \frac{y - 1}{3} > 1 \\ \frac{1 - y}{2} \geq 3 - a \end{array}$ 有解，那么符合条件的所有整数 $a$ 的和为（）

A、 $23$ B、 $20$ C、 $16$ D、 $10$

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10. 已知关于x的一元二次方程 $(p + 1) x^{2} + 2 q x + (p + 1) = 0$ （其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论中，错误的是（）．

A、1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 B、-1可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 C、0可能是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根 D、1和-1都是方程 $x^{2} + q x + p = 0$ 的根

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11. 在《九章算术》中，一次方程组是由算筹布置而成的．如图1所示的算筹图，表示的方程组就是 ${\begin{cases} 2 x + y = 11 ， \\ 4 x + 3 y = 27 ， \end{cases}$ 类似地，图2所示的算筹图表示的方程组为（）

A、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = - 14 ， \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$ B、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = - 9 ， \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$ C、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 19 ， \\ x + 4 y = 3 \end{cases}$ D、 ${\begin{cases} 3 x + 2 y = 19 ， \\ x + 4 y = 23 \end{cases}$

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12. 某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在 $100$ 元（不含 $100$ 元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在 $100$ 元（含 $100$ 元）以上， $350$ 元（不含 $350$ 元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在 $350$ 元（含 $350$ 元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了90 元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（）元

A、 $288$ B、 $296$ C、 $312$ D、 $320$

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长 $x$ 尺，木长 $y$ 尺，可列方程组为．

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14. 二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为2：4：5，销量之比为7：1：2．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了 $\frac{1}{4}$ ， C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为4：7：5，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的 $\frac{1}{16}$ ，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为．

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15. 甲、乙两班为运动会订购一批啦啦球，甲班开始订购的啦啦球数量是乙班订购数量的3倍，后来由于某种原因，甲班决定把自己所订购的啦啦球数量转让7个给乙班，但由于商家失误，寄来的啦啦球总数比甲、乙两班所定购的总数少了七个，最后甲班所购啦啦球数量是乙班所购数量的2倍，那么甲、乙两班最后所得的啦啦球总数最多是

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16. 已知等腰三角形 $A B C$ 的一边长 $a = 6$ ，另外两边的长 $b ， c$ 恰好是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (3 k + 3) x + 9 k = 0$ 的两个根，则 $△ A B C$ 的周长为

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17. 若 $W = 5 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 2 y + 8 x + 3$ （ $x 、 y$ 为实数），则 $W$ 的最小值为.

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18. 2021年11月2日，重庆市九龙坡区、长寿区分别新增1例新冠本土确诊.当疫情出现后，各级政府及有关部门高度重视，坚决阻断疫情传播.开州区赵家工业园区一家民营公司为了防疫需要，引进一条口罩生产线生产口罩，该产品有三种型号，通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售（三种型号的成本相同）.经过一个月的经营后，发现C型产品的销量占总销量的 $\frac{3}{7}$ ，且三种型号的总利润率为35%.第二个月，公司决定对A型产品进行升级，升级后A型产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B型、C型产品的销量和成本均不变，且三种产品在第二个月成本基础上分别加价20%，30%，50%出售，则第二个月的总利润率为.

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三、解答题（共6题，共46分）

19. 义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程 $4 x = 8$ 和 $x + 1 = 0$ 为“美好方程”。

(1)、若关于x的方程 $3 x + m = 0$ 与方程 $4 x - 2 = x + 10$ 是“美好方程”，求m的值；

(2)、若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n ，求n的值；

(3)、若关于x的一元一次方程 $\frac{1}{2024} x + 3 = 2 x + k$ 和 $\frac{1}{2024} x + 1 = 0$ 是“美好方程”，求关于y的一元一次方程 $\frac{1}{2024} (y + 1) + 3 = 2 y + k + 2$ 的解。

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20. 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程 $2 x - 6 = 0$ 的解为 $x = 3$ ，不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 > 0 \\ x < 5 \end{array}$ 的解为 $2 < x < 5$ ，因为 $2 < 3 < 5$ ，所以称方程 $2 x - 6 = 0$ 为不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 > 0 \\ x \leq 5 \end{array}$ 的“相伴方程”．

(1)、下列方程是不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ x < 2 \end{array}$ 的“相伴方程”的是；（填序号）
① $x - 1 = 0$ ；② $2 x + 1 = 0$ ；③ $- 2 x - 2 = 0$ ．

(2)、若关于x的方程 $2 x - k = 2$ 是不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 6 > 4 - x \\ x - 1 \geq 4 x - 10 \end{array}$ 0的“相伴方程”，求k的取值范围；

(3)、若方程 $2 x + 6 = 0$ ， $\frac{2 x - 1}{3} = - 1$ 都是关于x的不等式组 ${\begin{cases} (m - 1) x < m - 1 \\ x + 5 \geq m \end{cases}$ 的“相伴方程”，其中 $m \neq 1$ ，求m的取值范围．

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21. 2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：
数量（张）
$1 - 50$
$\begin{array}{l} 51 - 100 \end{array}$
101张及以上
单价（元/张）
60元
50元
40元
如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．

(1)、如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？

(2)、甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？

(3)、如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？

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22. 如图，某动力科学研究实验基地内装有一段长为91m的笔直轨道AB，现将长度为1m的金属滑块在上面往返滑动一次，滑动开始前，滑块左端与点A重合，滑动过程由三个阶段组成：1．滑块以9m/s的速度沿AB方向匀速滑动，当滑块的右端与点B重合时，滑动停止.2．滑块停顿2s.3．滑块以小于9m/s的速度沿BA方向匀速返回，当滑块的左端与点A重合时，滑动停止．设滑动时间为t（s）时，滑块左端离点A的距离为 $l_{1}$ （m），右端离点B的距离为 $l_{2}$ （m），

(1)、当 $t = 10 s$ 时，求 $l_{1}$ 的值．

(2)、整个滑动过程总用时27s（含停顿的时间），请根据所给条件解决下列问题：
①求滑块返回的速度．
②记 $d = l_{1} - l_{2}$ ，若 $d = 18 m$ ，求t的值．

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23. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a x + b = 0 (b \neq 0)$ 与 $x^{2} + c x + d = 0$ 都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且 $a b = c d$ ，则称它们互为“同根轮换方程”．如 $x^{2} - x - 6 = 0$ 与 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 互为“同根轮换方程”．

(1)、方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 与 $x^{2} - 2 x + 6 = 0$ 互为“同根轮换方程”吗？

(2)、若关于 $x$ 的方程 $x^{2} + 4 x + m = 0$ 与 $x^{2} - 6 x + n = 0$ 互为“同根轮换方程”，求 $m$ 的值；

(3)、已知方程①： $x^{2} + a x + b = 0$ 和方程②： $x^{2} + 2 a x + \frac{1}{2} b = 0$ ， $p$ 、 $q$ 分别是方程①和方程②的实数根，且 $p \neq q, b \neq 0$ ．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含 $a$ 的代数式分别表示 $p$ 和 $q$ ；如果不能，请说明理由．

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24. 随着智能手机的普及，网购已经成为人们的一种生活方式，快递业也随之发展壮大。某快递公司每件普通物品的收费标准如下表：

寄往市内		寄往市外
首重	续重	首重	续重
$10$ 元／千克	$3$ 元／千克	$12$ 元／千克	$8$ 元／千克
说明：①每件快递按送达地（市内，市外）分别计算运费． ②运费计算方式：首重价格 $+$ 续重 $\times$ 续重运费．首重均为 $1$ 千克，超过 $1$ 千克即要续重，续重以 $0.5$ 千克为计重单位（不足 $0.5$ 千克按 $0.5$ 千克计算）

例如：寄往市内一件 $1.8$ 千克的物品，运费总额为： $10 + 3 \times (0.5 + 0.5) = 13$ 元．寄往市外一件 $3.4$ 千克的物品，运费总额为： $12 + 8 \times (2 + 0.5) = 32$ 元．

(1)、小华同时寄往市内一件

3

千克的物品和市外一件

3.9

千克的物品，各需付运费多少元？

(2)、小彤同时寄往市内和市外同一件

b

千克的物品，已知

b

超过

2

，且

b

的整数部分是

m

，小数部分小于

0.5

，请用含字母的代数式表示市外与市内这两笔运费的差．

(3)、某日小华和小彤同时在该快递公司寄物品，小华寄往市外，小彤寄往市内，小彤所寄物品的重量不是整数，小华的运费比小彤的运费多

57

元，物品的重量比小彤多

2.5

千克，则小华和小彤共需付运费多少元？

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数量（张）	$1 - 50$	$\begin{array}{l} 51 - 100 \end{array}$	101张及以上
单价（元/张）	60元	50元	40元

	$2025$
$x$		$2$
		$3$