2024年中考数学精选压轴题之二次函数(一)

试卷更新日期：2024-05-10 类型：三轮冲刺

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x$ 的对称轴为 $x = 1$ ，当 $m \leq x \leq n$ 时，y的取值范围是 $2 m \leq y \leq 2 n$ ．则 $m + n$ 的值为（）

A、 $- 6$ 或 $- 2$ B、 $\frac{1}{4}$ 或 $- \frac{7}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- 2$

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2. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线的顶点，对称轴为直线 $x = - 1$ ，其部分图象如图所示，则以下 $4$ 个结论： $① a b c > 0$ ； $② E (x_{1} ， y_{1})$ ， $F (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x (a \neq 0)$ 上的两个点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} < - 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ； $③$ 在 $x$ 轴上有一动点 $P$ ，当 $P C + P D$ 的值最小时，则点 $P$ 的坐标为 $(- \frac{3}{7} ， 0)$ ； $④$ 若关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b (x - 2) + c = - 4 (a \neq 0)$ 无实数根，则 $b$ 的取值范围是 $b < 1 .$ 其中正确的结论有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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3. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - x - \frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ，以 $A B$ 为直径在 $x$ 轴上方画半圆交 $y$ 轴于点 $E$ ，圆心为 $I$ ， $P$ 是半圆上一动点，连接 $D P$ ，点 $Q$ 为 $P D$ 的中点．下列四种说法：
$①$ 点 $C$ 在 $⊙ I$ 上；
$② I Q ⊥ P D$ ；
$③$ 当点 $P$ 沿半圆从点 $B$ 运动至点 $A$ 时，点 $Q$ 运动的路径长为 $π$ ；
$④$ 线段 $B Q$ 的长可以是 $3.2$ ．
其中正确说法的个数为( )

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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4. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ A B C = 60 ° ， B C = 6$ ，点 $O$ 为 $A C$ 中点，点 $D$ 为线段 $A B$ 上的动点，连接 $O D$ ，设 $B D = x ， O D^{2} = y$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，抛物线y＝x²﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C ，点D（0，﹣2），点E（0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM ．则线段CM的最大值是（　　）

A、3 B、 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、5

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6. 已知函数f（x）＝x²+2x ， g（x）＝2x²+6x+n²+3，当x＝1时，f（1）＝1²+2×1＝3，g（1）＝2+6+n²+3＝n²+11．则以下结论正确的有（　　）
①若函数g（x）的顶点在x轴上，则 $n = \pm \sqrt{6}$ ；
②无论x取何值，总有g（x）＞f（x）；
③若﹣1≤x≤1时，g（x）+f（x）的最小值为7，则n＝±3；
④当n＝1时，令 $h (x) = \frac{g (x)}{2 f (x)}$ ，则h（1）•h（2）…h（2023）＝2024．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如图，经过 $A (- 3 ， 0)$ 的直线与抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} - x + \frac{13}{6}$ 交于B ， C两点，且 $A B = B C$ ，则直线 $A B$ 的解析式是（　　）

A、 $y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$ B、 $y = \frac{2}{3} x + 2$ C、 $y = \frac{1}{3} x + 1$ D、 $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

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8. 如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线.图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米.当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1∶10的坡地底部点O处，草坡上距离О的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌.下列说法正确的是（）

A、水流运行轨迹满足函数 $y = - \frac{1}{40} x^{2} - x + 1$ B、水流喷射的最远水平距离是40米 C、喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米 D、若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌

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9. 对于每个非零自然数 $n$ ，抛物线 $y = x^{2} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} x + \frac{1}{n (n + 1)}$ 与 $x$ 轴交于 $A_{n}$ 、 $B_{n}$ 两点，以 $A_{n} B_{n}$ 表示这两点间的距离，则 $A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + \dots + A_{2015} B_{2015}$ 的值是（）

A、 $1$ B、 $\frac{1}{2015}$ C、 $\frac{2014}{2015}$ D、 $\frac{2015}{2016}$

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10. 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4 $\sqrt{3}$ cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2 $\sqrt{30}$ cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（）

A、 $7 \sqrt{3} c m$ B、12cm C、 $8 \sqrt{3} c m$ D、14cm

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11. 将抛物线 $y = x^{2} + x - 6$ 位于 $y$ 轴左侧的部分沿 $x$ 轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线 $y = \frac{1}{2} x + t$ 与新图象有且只有2个公共点，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $- 6 < t \leq 6$ B、 $- 6 < t < 6$ C、 $t = \frac{97}{16}$ 或 $- 6 \leq t < 6$ D、 $t = \frac{105}{16}$ 或 $- 6 \leq t < 6$

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12. 如图，已知二次函数 $y = - \frac{5}{4} (x + 1) (x - 4)$ 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与 $y$ 轴交于点C，P为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP，交BC于点K，则 $\frac{A P}{P K}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{9}{4}$ B、2 C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 抛物线 $y = 2 x^{2} - a x + m - a$ 与 $x$ 轴相交于不同两点 $A (x_{1} ， 0)$ 、 $B (x_{2} ， 0)$ ，若存在整数 $a$ 及整数 $m$ ，使得 $1 < x_{1} < 3$ 和 $1 < x_{2} < 3$ 同时成立，则 $m =$ ．

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14. 若关于x的方程 $| x^{2} - 4 x + 3 | = x + t$ 恰有三个根，则t的值为.

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15. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x²+2x-3的图象与坐标轴相交于A ， B ， C三点，连接AC ， BC ．已知点E坐标为 $(\frac{1}{2} ， 0)$ ，点D在线段AC上，且 $A D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．则四边形BCDE面积的大小为．

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16. 图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．

(1)、当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为；

(2)、如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．

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17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过点A（1，0），B（3，0），与y轴相交于点C.若点P为线段OC上的动点，连结BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，点N运动路径的长为

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三、解答题（共6题，共46分）

18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于两点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 4)$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、已知抛物线上有一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，其中 $y_{0} < 0$ ，若 $∠ C A O + ∠ A B P = 90 °$ ，求 $x_{0}$ 的值；

(3)、若点 $D$ ， $E$ 分别是线段 $A C$ ， $A B$ 上的动点，且 $A E = 2 C D$ ，求 $C E + 2 B D$ 的最小值．

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19. 如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口 $H$ 离地竖直高度 $O H$ 为 $1.5 m$ ．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 $D E F G$ ，其水平宽度 $D E = 3 m$ ，竖直高度 $E F = 0.5 m$ ．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点 $A$ 离喷水口的水平距离为 $2 m$ 、高出喷水口 $0.5 m$ ，灌溉车到绿化带的距离 $O D$ 为 $d$ （单位： $m$ ）

(1)、求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程 $O C$ ；

(2)、求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点 $B$ 的坐标；

(3)、要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出 $d$ 的取值范围

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20. 如图1，已知二次函数图象与 $y$ 轴交点为 $C (0,3)$ ，其顶点为 $D (1,2)$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、将二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕 $O$ 点顺时针旋转 $90 °$ 得到抛物线 $G$ ，如图，直线 $y = - x + 2$ 与 $G$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 为 $G$ 上位于直线 $A B$ 左侧一点，求 $△ A B P$ 面积最大值，及此时点 $P$ 的坐标．

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21. 如图1，抛物线y＝﹣x²+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C ．在x轴上有一动点E（m ， 0）（0＜m＜3），过点E作直线ME⊥x轴，交抛物线于点M ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当m＝1时，点D是直线ME上的点且在第一象限内，若△ACD是以CA为斜边的直角三角形，求点D的坐标；

(3)、如图2，连接BC ， BC与ME交于点F ，连接AF ， △ACF和△BFM的面积分别为S₁和S₂ ，当S₁＝4S₂时，求点E坐标．

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22. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3经过点 A(-1，0)，B(3，0)，与 y轴交于点C，直线 y=x+2与y轴交于点D，交抛物线于E，F两点，点P为线段EF上一个动点(与E，F不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、当P在什么位置时，四边形PDCQ为平行四边形?求出此时点P的坐标.

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23. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $D (- \frac{5}{2} ， \frac{3}{4})$ ，且顶点 $P$ 的坐标为 $(- 1 ， 3)$ .

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、如图1，若点 $M$ 是二次函数图象上的点，且在直线 $C D$ 的上方，连接 $M C$ ， $M D$ .求 $△ M C D$ 面积的最大值及此时点 $M$ 的坐标；

(3)、如图2，设点 $Q$ 是抛物线对称轴上的一点，连接 $Q C$ ，将线段 $Q C$ 绕点 $Q$ 逆时针旋转 $90 °$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ，连接 $P F$ 交抛物线于点 $E$ ，求点 $E$ 的坐标.

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