2024年中考数学精选压轴题之一次函数综合

试卷更新日期：2024-05-10 类型：三轮冲刺

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 一次函数y＝（m-2）x+2-m和y＝x+m在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图所示，直线y= $\frac{3}{4}$ x+3分别与x轴、y轴交于点A、B，若∠ABC=45°，则直线BC的函数表达式为（）

A、y= $- \frac{1}{7}$ x+3 B、y= $- \frac{1}{5}$ x+3 C、y= $- \frac{1}{3}$ x+3 D、y= $- \frac{1}{9}$ x+3

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3. 若 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是一次函数 $y = a x$ $+ 2 x - 2$ 图象上的不同的两点，记 $m = (x_{1}$ $- x_{2}) (y_{1} - y_{2})$ ，则当 $m > 0$ 时， $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < - 2$ D、 $a > - 2$

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4. 如图，已知点P（6，2），点M ， N分别是直线l₁：y＝x和直线l₂： $y = \frac{1}{2} x$ 上的动点，连接PM ， MN ．则PM+MN的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A ， B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝ $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{15}{4}$ ．
其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $A (0 ， 2)$ 和点 $D$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 、 $C$ 在第一象限，一次函数 $y = k x + 4$ 的图象交 $A D$ 、 $C D$ 分别于 $E$ 、 $F$ ．若 $△ D E F$ 与 $△ B C F$ 的面积比为 $1 ： 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $1$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的 $4 m i n$ 内只进水不出水，在随后的 $8 m i n$ 内既进水又出水，之后只出水不进水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位： $L$ ）与时间x（单位： $m i n$ ）之间的关系如图．则下列说法正确的是（）

A、进水管每分钟的进水量为 $4 L$ B、当 $4 < x \leq 12$ 时， $y = \frac{5}{4} x + 12$ C、出水管每分钟的出水量为 $\frac{5}{4} L$ D、水量为 $15 L$ 的时间为 $3 m i n$ 或 $16 m i n$

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8. 已知 $A$ 、 $B$ 两地是一条直路，甲车从 $A$ 地到 $B$ 地，乙车从 $B$ 地到 $A$ 地，两车同时出发，乙先到达目的地，两车之间的距离 $s$ （ $k m$ ）与运动时间 $t$ （ $h$ ）的函数关系大致如图所示，下列说法错误的是（）

A、两车出发 $2 h$ 后相遇 B、甲车的速度为 $60 k m$ / $h$ C、乙的速度为 $90 k m$ / $h$ D、乙车比甲车提前 $\frac{10}{3}$ $h$ 到达目的地

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9. 如图1，四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $1$ 个单位长度的速度，沿路线A-B-C-D运动.设 $P$ 点的运动时间为 $t s$ ， $△ P A D$ 的面积为 $S$ ，当 $P$ 运动到 $B C$ 的中点时， $△ P A D$ 的面积为（）

A、 $7$ B、 $7.5$ C、 $8$ D、 $8.6$

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10. 一次函数 $y_{1} = k x + b$ （ $k \neq 0$ ， k、b是常数）与 $y_{2} = m x + 3$ （ $m \neq 0$ ， m是常数）的图像交于点 $D (1 ， 2)$ ，下列结论正确的序号是（）
①关于 $x$ 的方程 $k x + b = m x + 3$ 的解为 $x = 1$ ；
②一次函数 $y_{2} = m x + 3$ （ $m \neq 0$ ）图像上任意不同两点 $A (x_{a} ， y_{a})$ 和 $B (x_{b} ， y_{b})$ 满足： $(x_{a} - x_{b}) (y_{a} - y_{b}) < 0$ ；
③若 $| y_{1} - y_{2} | = b - 3$ （ $b > 3$ ），则 $x = 0$ ；
④若 $b < 3$ ，且 $b \neq 2$ ，则当 $x > 1$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ．

A、②③④ B、①②④ C、①②③ D、①②③④

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11. 如图，已知直线 $y = - \sqrt{3} x + 3$ 与 $x$ 轴交于点A，点 $B$ 与点A关于 $y$ 轴对称． $M$ 是直线上的动点，将 $O M$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $60 °$ 得 $O N$ ．连接 $B N$ ，则线段 $B N$ 的最小值为（）．

A、3 B、 $3 + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 - \sqrt{3}$

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12. 为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（）分钟后两机器人最后一次相距6米．

A、6 B、6.4 C、6.8 D、7.2

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 如图，四条直线 $l_{1}^{} ： y_{1}^{} = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ， $l_{2}^{} ： y_{2}^{} = \sqrt{3} x$ ， $l_{3}^{} ： y_{3}^{} = - \sqrt{3} x$ ， $l_{4}^{} ： y_{4}^{} = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ， $O A_{1}^{} = 1$ ，过点 $A_{1}^{}$ 作 $A {}_{1}A A_{2}^{} ⊥ x$ 轴交 $l_{1}^{}$ 于点 $A_{2}^{}$ ，再过点 $A_{2}^{}$ 作 $A_{2}^{} A_{3}^{} ⊥ l_{1}^{}$ ，交 $l_{2}^{}$ 于点 $A_{3}^{}$ ，再过点 $A_{3}^{}$ 作 $A_{3}^{} A_{4}^{} ⊥ l_{2}^{}$ 交y轴于点 $A_{4}^{}$ ， ……，则点 $A_{2020}^{}$ 的坐标为.

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14. 在平面直角坐标系中，点 $P (a ， b)$ ，点P的“变换点”Q的坐标定义如下：当 $a < b$ 时， $Q (a ， - b)$ ，当 $a \geq b$ 时， $Q (a + 1 ， b - 5)$ ，线段 $m ： y = - x + 2 (- 2 \leq x \leq 6)$ 按上述“变换点”组成新图形，直线 $y = 2 k x + 1$ 与新图形恰好有两个公共点，则k的取值范围．

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15. 已知，一次函数 $y = - \frac{3}{4} x + 6$ 的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，在第一象限内有一点P，使得 $△ A B P$ 是等腰直角三角形，则点P的横坐标为.

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16. 在平面直角坐标系中，已知直线l： $y = k x + b$ 过点 $A (2 ， 2)$ ，且与坐标轴交于点 $B$ ，则当 $△ O A B$ 的面积为2，且直线 $l$ 与 $y$ 轴不平行时，直线 $l$ 的表达式为．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = \sqrt{3} x$ ；直线l₂： $y = x$ ，直线 $l_{1}$ 上有一点A ，且点A的纵坐标是 $2 \sqrt{3}$ ．在直线 $l_{1}$ 的右侧作正方形 $O A B C$ ， $A B$ 交直线 $l_{2}$ 于点D ， $B C$ 交x轴于点E ，连接 $D E 、 A C ， A C$ 交直线 $l_{2}$ 于点F ，交x轴于点G ，则下列结论正确的有．（填序号）
① $△ B D E$ 的周长为 $8 \sqrt{3}$ ；
② $B D = \sqrt{3} B E$ ；
③ $F G = A F + G C$ ；
④点P为射线 $O A$ 上一动点， $B P + \frac{1}{2} O E$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{3}$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = 2 x - 2$ 的图象分别交 $x$ 、 $y$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，将直线 $A B$ 绕点 $B$ 按顺时针方向旋转 $45 °$ ，交 $x$ 轴于点 $C$ ，则直线 $B C$ 的函数表达式是.

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三、解答题（共5题，共38分）

19. 如图是由小正方形组成的 $8 \times 7$ 网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点．正方形 $A B C D$ 四个顶点都是格点．点E的坐标为 $(3, 3)$ ．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程线用虚线，结果线用实线表示．

(1)、在图1中，以 $A E$ 为边画 $▱ A E C F$ ；

(2)、在图1中，在 $C F$ 上画点M ，使得 $B M = D P$ ；

(3)、在图2中，在 $B C$ 上画点G ，使得 $∠ E A G = 45 °$

(4)、直接写出 $G E$ 与x轴交点的横坐标；

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20. 如图，已知直线 $l_{1}$ ： $y = 2 x + 5$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴交于点 $A$ ，点 $B$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $C (2 ， 0)$ ，与直线 $l_{1}$ 交于点 $D (m ， 3)$ ．

(1)、求点 $D$ 的坐标及直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

(2)、求 $△ A G D$ 的面积；

(3)、点 $P$ 为直线 $l_{2}$ 上一动点，若有 $S_{△ P A B} = \frac{4}{3} S_{△ A C D}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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21.
如图，直线 $l_{1} ： y = - x + 3$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 坐标为 $(- 5 ， - 2)$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ，点 $D$ 是线段 $A B$ 上的一动点，直线 $l_{2}$ 过 $C$ ， $D$ 两点．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、若点 $D$ 的横坐标为1，直线 $l_{2}$ 上是否存在点 $E$ ，使点 $E$ 到直线 $l_{1}$ 的距离为 $3 \sqrt{2}$ ，若存在，求出点 $E$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、将 $△ B C D$ 沿直线 $C D$ 翻折，点 $B$ 的对应点为 $M$ ，若 $△ A D M$ 为直角三角形，求线段 $B D$ 的长．

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22. 我市莲池区开展了“阳光体育，强身健体”系列活动，小明积极参与，他每周末和哥哥一起练习赛跑．哥哥先让小明跑若干米，哥哥追上小明后，小明的速度降为原来的一半，已知他们所跑的路程y（m）与哥哥跑步的时间x（s）之间的函数图象如图．

(1)、哥哥的速度是m/s，哥哥让小明先跑了米，小明后来的速度为m/s．

(2)、哥哥跑几秒时，哥哥追上小明？

(3)、求哥哥跑几秒时，两人相距10米？

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23. 如图1，已知在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ，边 $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴上， $∠ A B C = 45 °$ ， $B$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点 $K$ 是 $y$ 轴上一个动点，它的坐标是 $(0$ ， $m)$ ，直线 $A K$ 交直线 $B C$ 于点 $P$ ．

(1)、求直线 $A C$ 的表达式；

(2)、若 $m = 1$ ，点 $Q$ 为直线 $B C$ 上一点，且 $A K$ 平分 $∠ C A Q$ ，求 $Q$ 的坐标；

(3)、如图 $2$ ，连接 $O P$ ，以 $O P$ 为直角边作等腰直角 $△ O P M$ （ $O$ 、 $P$ 、 $M$ 三点按照逆时针顺序排列），使得 $∠ O P M = 90 °$ ， $P O = P M$ ．
①试说明在点 $K$ 的运动过程中， $△ A B M$ 的面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由；
②点 $K$ 从 $C$ 运动到 $O$ 的过程中，点 $M$ 的运动路径长为 ▲ ．

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四、实践探究题（共8分）

24.

(1)、【模型建立】如图1，在△ABC中， $∠ A C B = 9 0^{∘}, ∠ C A B = ∠ C B A = 4 5^{∘}$ ，直线ED经过点C ，过点A作AD⊥ED于点D ，过点B作BE⊥ED于点E ．求证： $△ B E C ≅ △ C D A$ ；

(2)、【初步应用】如图2，已知直线 $l_{1}$ ： $y = 4 x + 4$ 分别交 $x ， y$ 轴于点A、B，将直线 $l_{1}$ 绕点A逆时针旋转45°至直线 $l_{2}$ ，求直线 $l_{2}$ 的函数表达式；

(3)、【迁移拓展】如图3，直线 $y = 4 x + 4$ 分别交x、y轴于A、B两点，直线 $y = k x + 2 (k \neq 0)$ 分别交x、y轴于点C、D交直线AB于点E ．若∠BED=45°，请直接写出点C的坐标．

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