山东省济南市2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2024-05-09 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分，共40分）

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{12} = 3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{(- 3)^{2}} = - 3$ C、 $2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$ D、 $(\sqrt{2} + 1)^{2} = 3$

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2. 若关于x的一元二次方程 $m x^{2} + x - m^{2} + 1 = 0$ 的一个根为 $- 1$ ，则m的值为（　　）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 1$ 或1 D、0或1

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3. 二次根式 $\sqrt{3 - x}$ 中字母x的取值范围是（）

A、 $x \leq 3$ B、 $x ≥ 3$ C、 $x \neq 3$ D、 $x < 3$

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4. 如图，用直尺和圆规作菱形 $A B C D$ ，作图过程如下：①作锐角 $∠ A$ ；②以点 $A$ 为圆心，以任意长度为半径作弧，与 $∠ A$ 两边分别交于点 $B$ ， $D$ ；③分别以点 $B$ ， $D$ 为圆心，以 $A D$ 的长度为半径作弧，两弧相交于点 $C$ ，分别连接 $D C$ ， $B C$ ，则四边形 $A B C D$ 即为菱形，其依据是（）

A、一组邻边相等的四边形是菱形 B、四条边相等的四边形是菱形 C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，若 $D E ∥ B C$ ， $\frac{A D}{D B} = \frac{2}{3}$ ， $A E = 4 c m$ ，则 $A C$ 的长为（）

A、 $6 c m$ B、 $8 c m$ C、 $10 c m$ D、 $12 c m$

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6. 某超市一月份的营业额为300万元，第一季度的营业额共1200万元，如果平均每月增长率为 $x$ ，则由题意可列方程为（）

A、 $300 (1 + x)^{2} = 1200$ B、 $300 + 300 \times 2 x = 1200$ C、 $300 + 300 \times 3 x = 1200$ D、 $300 [1 + (x + 1) + (x + 1)^{2}] = 1200$

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7. 如图，在直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 顶点A ， B ， C在坐标轴上，若点B的坐标为 $(- 1, 0)$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，当△AOB绕点O顺时针旋转得到△A'OB'，当A'恰好第一次落在线段 $O D$ 上时， $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{21}}{7}, \frac{2 \sqrt{7}}{7})$

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8. 若直角三角形的两边长分别为a、b，且满足 $\sqrt{a^{2} - 6 a + 9} + | b - 4 | = 0$ ，则该直角三角形的第三边长为（）

A、5 B、5或 $\sqrt{7}$ C、4 D、 $\sqrt{7}$ 或4

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9. 如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为 $C_{1}$ ，深色阴影部分的周长为 $C_{2}$ ，若要求出 $C_{1} - C_{2}$ 的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（）

A、①② B、②③ C、①③ D、②④

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 4$ ， $C D ⊥ A B$ 于点D ， P是 $A B$ 上的一个动点，以 $P$ 为直角顶点向右作等腰 $R t △ C P E$ ，连接 $D E$ ，则 $D E$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2} - 1$

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二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接写答案.）

11. 计算 $\sqrt{6} \times \sqrt{8} - \sqrt{27}$ 的结果是．

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12. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} = 2 x + 2$ 的两个根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 的值为．

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13. P为线段AB的黄金分割点，PA<PB ， AB=4，则PA= ． (结果保留根号)

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14. 如图，在△ABC中， $∠ ACB = 90 °$ ，点D是AB的中点，CD=2，则AB=.

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15. 已知x，y为实数，且满足 $x^{2} - x y + 4 y^{2} = 4$ ，记 $u = x^{2} + x y - 4 y^{2}$ 的最大值为M，最小值为m，则M+m＝.

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = 10$ ， $A B = 8$ ，点E为 $A D$ 边上一点，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ F B E$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 于点G ，延长 $B F$ 交 $C D$ 于点H ，且 $F H = C H$ ，则 $D E$ 的长是．

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三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 计算： $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - 2 \sqrt{\frac{1}{5}} \times \sqrt{30} + (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{2}$ ．

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18. 解方程 $x^{2} - 6 x + 9 = (5 - 2 x)^{2}$ ．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B ＝ 10, A C ＝ 8$ ，点D在边 $A B$ 上， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E ，如果 $B D = 4$ ，求 $A E$ 的长．

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20. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2} + 4 x + m = 0$

(1)、若 $x = 1$ 是方程的一个根，求 $m$ 的值和方程的另一根

(2)、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是方程的两个实数根，且满足 ${x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} + 2 x_{1} x_{2} - {x_{1}}^{2} {x_{2}}^{2} = 0$ ，求 $m$ 的值

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21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 的对角线 $A C$ 上任意一点， $F$ 是线段 $B C$ 延长线上一点，且 $C F = A E$ ，连接 $B E$ ． $E F$ ．

(1)、如图1，当 $E$ 是线段 $A C$ 的中点，且 $A B = 2$ 时，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、如图2，当点 $E$ 不是线段 $A C$ 的中点时，求证： $B E = E F$ ；

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22. 小明在做作业的过程中发现一个计算题目“ $■$ ”处印刷不清楚，“计算： $(■ \sqrt{\frac{1}{5}} - 2 \sqrt{45}) \div (- \sqrt{5})$ ”

(1)、他把“ $■$ ”处的数字猜成10，请你帮他计算出结果；

(2)、他妈妈说：“你可能猜错了，我看到该题目的标准答案是5．”请通过计算说明“ $■$ ”处的数字到底是多少？

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23. 观察下列运算：
由 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} = \sqrt{2} - 1$ ；
由 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ；
由 $(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3}) = 1$ ，得 $\frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$ ；
…

(1)、观察上面的解答过程，请写出 $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ；

(2)、请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；

(3)、利用（2）中你发现的规律计算： $1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}$ ．

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24. 瑞安某商场购进一批单价为 $6$ 元的日用商品，如果以单价 $9$ 元销售，每天可售出 $180$ 件；根据销售经验，销售单价每提高 $1$ 元，销售量每天就相应减少 $20$ 件，设这种商品的销售单价为 $x$ 元 $(x \geq 9)$ ．

(1)、该商品每天的销售量：（用含 $x$ 的代数式表示）；

(2)、若该商场当天销售这种商品所获得的利润为 $700$ 元，求 $x$ 的值；

(3)、当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？

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25. 如图，E为菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点，过点 $E$ 作 $E G ⊥ A D$ 于 $G$ ，交 $B D$ 于 $F$ ，连接 $D E$ ．过点 $D$ 作 $D M ⊥ B D$ ，交 $B C$ 的延长线于点M ．

(1)、若 $∠ A = 4 ∠ D E G$ ，求证： $∠ M = 2 ∠ D E G$ ；

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 5$ ， $B E = 4$ ，求 $E F$ 的长．

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26. 如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在 $B C 、 C D$ 上，且 $B E = D F ， A E 、 A F$ 分别与 $B D$ 交于点G、H ，过点G作 $G N ⊥ A F$ ，垂足为M ，交 $A D$ 于点N ．

(1)、求证： $A H = G N$ ；

(2)、若 $∠ E A F = 45 °$ ，求证： $\frac{A H}{A F} = \frac{B G}{C F}$ ；

(3)、如图2，过点G作 $G Q ⊥ A D$ ，垂足为Q ，交 $A F$ 于点P ．若 $G M = 4 M N$ ，求 $\frac{A P}{G P}$ 的值．

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