四川省德阳市旌阳区2024年中考一模数学模拟试题

试卷更新日期：2024-05-09 类型：中考模拟

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一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1. 若“ $a - b$ ”表示一个数，则它的相反数是（）

A、 $- a + b$ B、 $- a - b$ C、 $a + b$ D、 $a - b$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $x + x = x$ B、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$ C、 ${(x y^{2})}^{3} \div y^{3} = x y^{3}$ D、 ${(- x)}^{3} \cdot x^{2} = - x^{5}$

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3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为 $0.0000084 m$ ，将数据 $0.0000084$ 用科学记数法表示为 $8.4 \times 1 0^{n}$ ，则 $n$ 的值是（）

A、6 B、 $- 7$ C、 $- 5$ D、 $- 6$

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4. 一副三角板如图所示摆放，若直线 $a ∥ b$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $10 °$ B、 $15 °$ C、 $20 °$ D、 $25 °$

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5. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安．问：几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问：多久后甲、乙相逢？设甲出发 $x$ 日，乙出发 $y$ 日后甲、乙相逢，则所列方程组正确的是 $($ $)$

A、 ${\begin{array}{l} x - 2 = y \\ \frac{1}{7} x + \frac{1}{5} y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 2 = y \\ \frac{1}{7} x + \frac{1}{5} y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - 2 = y \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{7} y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + 2 = y \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{7} y = 1 \end{array}$

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6. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线 $A C = 10 \sqrt{2} c m$ ，将正方形学具变形为菱形（如图2）， $∠ D A B = 60 °$ ，则图2中对角线 $A C$ 的长为（　　）

A、 $20 c m$ B、 $10 \sqrt{6} c m$ C、 $10 \sqrt{3} c m$ D、 $10 \sqrt{2} c m$

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7. 一次考试后，数学老师对班级数学成绩进行了统计分析．甲同学因病缺考，计算其余同学的平均分为102分，方差 $s^{2} = 40$ ．后来甲同学进行了补考，数学成绩为102分．则加入甲同学的成绩后，班级数学成绩下列说法正确的是（）

A、平均分和方差都不变 B、平均分和方差都改变 C、平均分不变，方差变小 D、平均分不变，方差变大

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8. 某三棱柱的三视图如图所示，其中主视图和左视图为矩形，俯视图为 $△ A B C$ ，已知 $t a n B = \frac{1}{3}$ ， $∠ C = 45 °$ ，则左视图的面积是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、4 D、2

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9. 如图，在半径为6cm的 $⊙ O$ 中，点A是劣弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，点D是优弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上一点，且 $∠ D = 3 0^{∘}$ ，下列四个结论：① $O A ⊥ B C$ ；② $B C = 3 \sqrt{3} c m$ ；③扇形OCAB的面积为 $12 π$ ；④四边形ABOC是菱形其中正确结论的序号是

A、①③ B、①②③④ C、②③④ D、①③④

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10. 若整数 $a$ 使得关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 1}{2} - \frac{2 x + 1}{3} \geq - 1 \\ \frac{x + a}{2} + 4 > 2 x \end{array}$ 至少有2个整数解，且使得关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a y + 1}{y - 2} - \frac{5}{2 - y} = - 1$ 有整数解，则满足条件的整数 $a$ 之和为（）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、2 D、4

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11. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 的顶点 $O$ 在原点上， $O A$ 边在 $x$ 轴的正半轴上， $A B ⊥ x$ 轴， $A B = C B = 2$ ， $O A = O C$ ， $∠ A O C = 60 °$ ，将四边形 $O A B C$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第 $2024$ 次旋转结束时，点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3}, 3)$ B、 $(3, - \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3}, 1)$ D、 $(1, - \sqrt{3})$

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与x轴交于A ， B两点，与y轴交于点C ，其对称轴为直线 $x = 1$ ，直线 $y = x + c$ 与抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）交于C ， D两点，且D为抛物线的顶点，则下列结论：① $C D = \sqrt{2}$ ；② $4 a + 2 b + c > 0$ ；③ $O A \cdot O B = - \frac{c}{a}$ ；④方程 $a x^{2} + b x = 1$ 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案直接填在答题卡对应的题号后的横线上）

13. 已知a、b是 $△ A B C$ 的两边，且满足 $a^{2} - b^{2} = a c - b c$ ，则 $△ A B C$ 的形状是．

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14. 下表是抽查的某班10名同学中考体育测试成绩统计表．
成绩（分）
30
25
20
15
人数（人）
2
x
y
1
若成绩的平均数为23，中位数是a ，众数是b ，则 $a - b$ 的值是．

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15. 如图，已知正五边形 $A B C D E$ ，经过C ， D两点的 $⊙ O$ 与 $A B ， A E$ 分别相切于点M ， N ，连接 $C M ， C N$ ，则 $∠ M C N =$ °.

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16. 如图，P是 $Rt △ A B C$ 的斜边 $A C$ （不与点A、C重合）上一动点，分别作 $P M ⊥ A B$ 于点M， $P N ⊥ B C$ 于点N，O是 $M N$ 的中点，若 $A B = 5$ ， $B C = 12$ ，当点P在 $A C$ 上运动时， $B O$ 的最小值是．

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17. 如图， $△ O A B$ 在第一象限内，顶点A的坐标为 $(6, 3)$ ，顶点B的横坐标为2，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 经过点B ，且与 $O A$ 交于点C ，连接 $B C$ ．若 $O C = 2 A C$ ，则 $△ O B C$ 的面积为．

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18. 已知y是关于x的二次函数： $y = 2 m x^{2} + (1 - m) x - 1 - m$ ，则下列描述正确的是．
①当 $m = - 1$ 时，函数图象的顶点坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ；
②当 $m > 0$ 时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于 $\frac{3}{2}$ ；
③当 $m \neq 0$ 时，函数图象总过定点 $(1, 0)$ ， $(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$ ；
④若在函数图象上任取不同的两点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ 、 $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ ，则当 $m < 0$ 时，函数在 $x > \frac{1}{4}$ 时一定能使 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 成立．

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三、解答题：（本大题共7小题，共78分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算： $\sqrt{4} \times {(- \frac{1}{2})}^{- 2} - | 1 - \sqrt{2} | - {(π - \sqrt{2})}^{0} + 2 c o s 45 °$ ．

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20. 某校在课后服务中，成立了以下社团： $A ．$ 计算机， $B ．$ 围棋， $C ．$ 篮球， $D ．$ 书法；每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图中 $D$ 所占扇形的圆心角为 $150 °$ ．
请结合图中所给信息解答下列问题：

(1)、这次被调查的学生共有人；

(2)、请你将条形统计图补充完整；

(3)、若该校共有2160学生加入了社团，请你估计这2160名学生中有名学生参加了篮球社团；

(4)、在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．

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21. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， $△ D E F$ 为正三角形，点E，F分别在菱形的边 $A B ， B C$ ．上滑动，且点E、F不与点A，B，C重合， $B D$ 与 $E F$ 交于点G．

(1)、证明：当点E，F在边 $A B ， B C$ 上滑动时，总有 $A E = B F$ ．

(2)、当 $B F = 2$ 时，求 $B G$ 的长．

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22. 如图，一次函数 $y = k x - 3 k (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x} (m - 1 \neq 0)$ 的图象交于点C ，与x轴交于点A ，过点C作 $C B ⊥ y$ 轴，垂足为B ，连接 $O C, A B$ ．已知四边形 $A B C O$ 是平行四边形，且其面积是6．

(1)、求点A的坐标及m和k的值；

(2)、①求一次函数图象与反比例函数图象的另一个交点坐标；
②请结合图象，直接写出不等式 $\frac{m - 1}{x} \geq k x - 3 k$ 的解集．

(3)、若直线 $y = x + t$ 与四边形 $A B C O$ 有交点时，直接写出t的取值范围．

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23. 三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有A ， B两个系列，A系列产品比B系列产品的售价低5元，100元购买A系列产品的数量与150元购买B系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：B系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若B系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．

(1)、A系列产品和B系列产品的单价各是多少？

(2)、为了使B系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求B系列产品的实际售价应定为多少元/件？

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24. 点 $O$ 是直线 $M N$ 上的定点，等边 $△ A B C$ 的边长为 $\sqrt{3}$ ，顶点 $A$ 在直线 $M N$ 上， $△ A B C$ 从 $O$ 点出发沿着射线 $O M$ 方向平移， $B C$ 的延长线与射线 $O N$ 交于点 $D$ ，且在平移过程中始终有 $∠ B D O = 30 °$ ，连接 $O B$ ， $O C$ ， $O B$ 交 $A C$ 于点 $P$ ，如图所示．

(1)、以 $O$ 为圆心， $O D$ 为半径作圆，交射线 $O M$ 于点 $E$ ．
①当点 $B$ 在⊙O上时，求 $\overset{⌢}{B E}$ 的长；
②⊙O的半径为，当 $△ A B C$ 平移距离为 $2 r$ 时，判断点 $C$ 与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)、在平移过程中，是否存在 $O C = O P$ 的情形？若存在，请求出此时点 $O$ 到直线 $B C$ 的距离；若不存在，请说明理由．

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25. 平面直角坐标系中，抛物线 $y = a (x - 1)^{2} + \frac{9}{2}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B (4$ ， $0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线的解析式，并直接写出点 $A$ ， $C$ 的坐标；

(2)、在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $△ B C P$ 是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)、如图，点 $M$ 是直线 $B C$ 上的一个动点，连接 $A M$ ， $O M$ ，是否存在点 $M$ 使 $A M + O M$ 最小，若存在，请求出点 $M$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

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成绩（分）	30	25	20	15
人数（人）	2	x	y	1