2024年中考数学精选压轴题之旋转问题

试卷更新日期：2024-05-09 类型：三轮冲刺

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度得到△DEC，使得A点恰好落在DE上，则线段BD的长为（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、5 C、2 $\sqrt{7}$ D、3 $\sqrt{3}$

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2. 如图，将边长为 $\sqrt{3}$ 的正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到正方形 $A' B C' D'$ ， $A D$ 与 $C' D'$ 交于点 $M$ ，那么图中点 $M$ 的坐标为（）

A、 $(\sqrt{3} ， 1)$ B、 $(1 ， \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \sqrt{3})$

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3. 如图所示，矩形ABOC的顶点O（0，0），A（－2 $\sqrt{3}$ ， 2），对角线交点为P，若矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第74次旋转后点P的落点坐标为（）

A、(1， $\sqrt{3}$ ) B、（2，0） C、(1，- $\sqrt{3}$ ) D、( $\sqrt{3}$ ， -1)

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4. 如图，点 $P$ 是等边 $Δ A B C$ 内一点，将线段 $P B$ 绕点 $B$ 沿顺时针方向旋转 $60 °$ 得到线段 $B P^{'}$ ，连接 $C P^{'}$ ， $P P^{'}$ ，若 $P B = 3$ ， $P C = 4$ ， $P A = 5$ ，则下列结论正确的有（）个．
① $Δ P B P^{'}$ 为等边三角形；
② $∠ B P C = 150 °$ ；
③ $Δ B A P ≅ Δ B C P^{'}$ ；
④ $S_{四边形 B P C P^{'}} = 6 + \frac{9 \sqrt{3 }}{4}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，P是正方形 $A B C D$ 内一点， $A P = 3 ， B P = 2 ， C P = \sqrt{17}$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积是（）

A、 $13 + 6 \sqrt{2}$ B、13 C、 $\sqrt{21}$ D、 $11 + 6 \sqrt{2}$

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6. 如图， $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上的动点（不与点B、C重合）， $D E$ 与 $A C$ 交于点 $F$ ，连结 $C E .$ 下列结论： $① B D = C E$ ； $② ∠ D A C = ∠ C E D$ ； $③$ 若 $B D = 2 C D$ ，则 $\frac{C F}{A F} = \frac{4}{5}$ ； $④$ 在 $△ A B C$ 内存在唯一一点 $P$ ，使得 $P A + P B + P C$ 的值最小，若点 $D$ 在 $A P$ 的延长线上，且 $A P$ 的长为2，则 $C E = 2 + \sqrt{3} .$ 其中含所有正确结论的选项是（）

A、 $① ② ④$ B、 $① ② ③$ C、 $① ③ ④$ D、 $① ② ③ ④$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到 $△ D E C$ ，点A、B的对应点分别是 $D$ ， $E$ ，点 $F$ 是边 $A C$ 的中点，连接 $B F$ ， $B E$ ， $F D$ .则下列结论错误的是（）

A、 $B E = B C$ B、 $B F ∥ D E$ ， $B F = D E$ C、 $∠ D F C = 90 °$ D、 $D G = 3 G F$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 为正方形，将 $△ E D C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $△ H B C$ ，点 $D$ ， $B$ ， $H$ 在同一直线上， $H E$ 与 $A B$ 交于点 $G$ ，延长 $H E$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $F$ ， $H B = 2$ ， $H G = 3$ .以下结论：
① $∠ E D C = 135 °$ ；② $E C^{2} = C D \cdot C F$ ；③ $H G = E F$ ；④ $s i n ∠ C E D = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .其中正确结论的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为2，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，把 $R t △ O E F$ 放在正方形上，使直角顶点与点 $O$ 重合，让 $R t △ O E F$ 绕着点 $O$ 旋转， $O E$ 、 $O F$ 分别交 $B C$ 、 $C D$ 于点 $M$ 、 $N$ ，给出下列结论；① $B M = C N$ ；② $S_{四边形 O M C N} = 1$ ；③ $M N = O A$ .其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①② C、②③ D、①③

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10. 如图，已知Rt△ABC， $A C = B C = 2$ ，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点F，连接AF，则下列结论中：① $A B = 2 \sqrt{2}$ ；②△ABD∽△ACE；③ $∠ B F C = 45 °$ ；④F为BD的中点，其中正确的有（）

A、①②③ B、①②④ C、①②③④ D、②③④

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11. 如图，等边三角形ABC的边长为2，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，将∠FOG绕点O旋转，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE ，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S_{四边形ODBE}＝ $\frac{1}{3}$ S_△ABC；③S_△ODE＝S_△BDE；④△BDE周长的最小值为3．上述结论中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 四边形 $A D B C$ 中， $A B = A D ， ∠ B A D = 90 ° ， ∠ B C D = 30 ° ， B C = 12 ， A C = 14 \sqrt{2}$ ，则 $C D$ 的值为（）

A、15 B、 $14 \sqrt{2}$ C、 $12 + 7 \sqrt{2}$ D、20

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为．

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14. 如图正方形 $A B C D$ 的边长为3，E是 $B C$ 上一点且 $C E = 1$ ， F是线段 $D E$ 上的动点．连接 $C F$ ，将线段 $C F$ 绕点C逆时针旋转 90°得到 $C G$ ，连接 $E G$ ，则 $E G$ 的最小值是．

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15. 如图，已知： $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为线段 $B C$ 上一点，将线段 $A D$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A E$ ， $F$ 为 $D E$ 中点，直线 $C F$ 交射线 $B A$ 于点 $G$ ，下列说法， $①$ 若连接 $E C$ ，则 $E C ⊥ B C$ ； $② ∠ B D A = ∠ E D C$ ； $③ D E = C G$ ； $④$ 若 $B D = 2 D C$ ，则 $A D = \sqrt{5} A G .$ 其中正确的序号有．

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16. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转，使点 $B$ 落在 $A B$ 边上的点 $D$ 处，点 $A$ 落在点 $E$ 处， $D E$ 与 $A C$ 相交于点 $F$ ，若 $A B ∥ C E$ ， $D E ⊥ A C$ ， $A D ＝ \sqrt{2}$ ，则 $A B$ 的长为．

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17. 如图， $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 1$ ， $B C = 3$ ， D是 $A B$ 边上的中点，将 $△ A C B$ 绕着点A逆时针旋转，使点C落在线段 $C D$ 上的点E处，点B的对应点为F ，边 $E F$ 与边 $A B$ 交于点G ，则 $D G$ 的长是.

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18. 如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF ，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG ，则CG的最小值为．

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三、解答题（共6题，共46分）

19. 在等边△ABC中，BC=4，点D是AB的中点，点E，F分别是CD，AC边上一点（不与点A，C重合）.

(1)、如图1，当点E为CD中点，点F为AC中点时，求EF的长度.

(2)、如图2，将线段CE绕着点C顺时针旋转60°得到线段CP，连结AP，当B，E，P三点在同一条直线上时，求AP的长度.

(3)、如图3，将线段FE绕着点F顺时针旋转60°得到线段FQ，延长QE交线段BC于点M，探索CF，CM，CE三条线段之间的关系.

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20. 如图， $C D$ 为 $△ A B C$ 的中线，以 $C D$ 为直角边在其右侧作直角 $△ C D E$ ， $C D 丄 D E$ ， $B C$ 与 $D E$ 交于点F ， $∠ C E D = 30 °$ ．

(1)、如图1，若 $C F = E F = 5$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图2，若将 $B C$ 绕点C逆时针旋转 $120 °$ 得到 $C G$ ，连接 $A G$ 、 $A E$ ，探究 $A G$ 、 $A E$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，若 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $C E$ 上有一点M ，连接 $M F$ ，将 $△ C F M$ 沿着 $M F$ 翻折到 $△ A B C$ 所在的平面内得到 $△ N F M$ ，取 $N F$ 的中点P ，连接 $A P$ ，当 $A P$ 最小时，请直接写出 $△ A P B$ 的面积．

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21. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $D$ 为平面内的一点．
图1 图2 图3

(1)、如图1，当点 $D$ 在边 $B C$ 上时， $B D = 2$ ，且 $∠ B A D = 30 °$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、如图2，当点 $D$ 在 $△ A B C$ 的外部，且满足 $∠ B D C = 45 ° + ∠ A D C$ ，求证： $B D = \sqrt{2} A D$ ；

(3)、如图3， $A B = 6$ ，当 $D$ 、 $E$ 分别为 $A B$ 、 $A C$ 的中点时，把 $△ D A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，设旋转角为 $α (0 < α < 180 °)$ ，直线 $B D$ 与 $C E$ 的交点为 $P$ ，连接 $P A$ ，直接写出旋转中 $△ P A B$ 面积的最大值．

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22. 已知点C为 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 的公共顶点，将 $△ C D E$ 绕点C顺时针旋转 $α (0 ° < a < 360 °)$ ，连接 $B D$ ， $A E$ ，请完成如下问题：

(1)、如图1，若 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 均为等边三角形，①线段 $B D$ 与线段 $A E$ 的数量关系是；②直线 $B D$ 与直线 $A E$ 相交所夹锐角的度数是；
类比探究：

(2)、如图2，若 $∠ A B C = ∠ E D C = 90 °$ ， $∠ A C B = ∠ E C D = 60 °$ ，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；

(3)、拓展应用：如图3，若 $∠ B A C = ∠ D E C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $C E = D E$ ， $B C = 2 C D = 2 \sqrt{2}$ ，当点B，D，E三点共线时，请直接写出 $B D$ 的长.

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23. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E$ 为线段 $A D$ 上一动点（不与 $A$ ， $D$ 重合），连接 $B E$ ， $C E$ ，将 $C E$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $C F$ ，连接 $A F$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ C B E = ∠ C A F$ ；

(2)、如图2，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ， $E F$ ， $E F$ 与 $D G$ 所在直线交于点 $H$ ，求证： $E H = F H$ ；

(3)、如图3，连接 $B F$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，连接 $D G$ ， $E G$ ，将 $△ A E G$ 沿 $A G$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得到 $△ A P G$ ，将 $△ D E G$ 沿 $D G$ 所在直线翻折至 $△ A B C$ 所在平面内，得到 $△ D Q G$ ，连接 $P Q$ ， $Q F$ ．若 $A B = 4$ ，直接写出 $P Q + Q F$ 的最小值．

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24. “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．

(1)、【问题情景】：如图 $(1)$ ，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是线段 $B C$ 上一点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ，连接 $E A .$ 将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $E F$ ，连接 $C F$ ，求 $∠ F C D$ 的度数．
以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
①小聪：过点 $F$ 作 $B C$ 的延长线的垂线；
②小明：在 $A B$ 上截取 $B M$ ，使得 $B M = B E$ ；
请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．

(2)、【类比探究】：如图 $(2)$ 点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点 $($ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合 $)$ ， $∠ A B C = α$ ，将 $E A$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $α$ 得到 $E F$ ，使得 $∠ A E F = ∠ A B C = α (α \geq 90 °)$ ，则 $∠ F C D$ 的度数为 $($ 用含 $α$ 的代数式表示 $)$ ．

(3)、【学以致用】：如图 $(3)$ ，在 $(2)$ 的条件下，连结 $A F$ ，与 $C D$ 相交于点 $G$ ，当 $α = 120 °$ 时，若 $\frac{D G}{C G} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{B E}{C E}$ 的值．

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