2024年中考数学精选压轴题之折叠问题

试卷更新日期：2024-05-09 类型：三轮冲刺

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一、选择题（每题3分，共36分）

1. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形 $A B C D$ 沿 $D E$ 折叠，使点 $C$ 落在 $A B$ 边的点 $F$ 处，其中 $D E = 5 \sqrt{5}$ ，且 $s i n ∠ D F A = \frac{4}{5}$ ，则矩形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $80$ B、 $64$ C、 $36$ D、 $18$

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2. 如图，已知长方形纸片 ABCD，点E，F分别在边AD和BC上，且∠EFC=53°，H和G 分别是边AD和 BC 上的动点，现将点 A，B 沿 EF 向下折叠至点N，M 处，将点 C，D沿GH 向上折叠至点P，K 处，若 MN∥PK，则∠KHD的度数为（）

A、37°或143° B、74°或96° C、37°或105° D、74°或106°

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3. 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，连结BE，DF.将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A，C分别落在对角线BD上的点G，H处，连结GF.则下列结论不正确的是（）

A、BD＝10 B、HG＝2 C、 $E G ∥ F H$ D、GF⊥BC

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4. 如图，将矩形ABCD沿GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB $= \frac{4 \sqrt{3}}{5} A D ； ③ G E = \sqrt{6} D F ， ④ O C = 2 \sqrt{2} O F ，$ ⑤△COF∽△CEG.其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①④⑤ D、②③④

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5. 如图，在一张矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 8$ ，点E ， F分别在边 $A D ， B C$ 上，将纸片 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 折叠，点C落在边 $A D$ 上的点H处，点D落在点G处，有下列四个结论：①四边形 $C F H E$ 是菱形；② $E C$ 平分 $∠ D C H$ ；③线段 $B F$ 长的取值范围是 $3 \leq B F \leq 4$ ；④当点H与点A重合时， $E F =$ 2 $\sqrt{5}$ ，其中，正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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6. 如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF为交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG；②S_△CEG＝S_△CBE+S_{四边形CDQH}；③EC平分∠BEG；④EG²﹣CH²＝GQ•GD，正确的是（　　）

A、①③ B、①③④ C、①④ D、①②③④

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E ， F ．以下四个结论正确的是（）
①∠EAF＝45°；②FC′＝BE；③EC＝3BE；④FC＝( $\sqrt{3}$ －1)AE ．

A、①②③ B、②④ C、①③④ D、①②③④

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8. 如图所示， $D$ 是等边三角形ABC的边AB上一点，且 $A D ： D B = 1 ： 2$ .现将 $△ A B C$ 折叠，使点 $C$ 与点 $D$ 重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF等于（）.

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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9. 如图所示，在 $⊙ O$ 中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后，刚好经过AB的中点 $D$ .若 $⊙ O$ 的半径为 $2 \sqrt{5} ， A B = 8$ ，则BC的长是（）.

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{255}}{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $\frac{14 \sqrt{5}}{3}$

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10. 如图，在矩形ABCD中，将△CDE沿DE折叠，点C与点M重合，连结EM并延长EM分别交BD ， AD于点N ， F ，且BE＝BN ，若AB＝6，BC＝8，则AF的长是（）

A、5- $\sqrt{10}$ B、10-2 $\sqrt{10}$ C、4- $\sqrt{10}$ D、8-2 $\sqrt{10}$

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{21}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿直线 $A E$ 翻折，点 $B$ 落在点 $F$ 处，连接 $C F$ ，则 $C F$ 的长为（）

A、8 B、 $\frac{42}{5}$ C、 $\frac{17}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{21}}{5}$

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12. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A，D分别落在点 $A^{'}$ ， $D^{'}$ 处，且 $A^{'} D^{'}$ 经过点B，EF为折痕，当 $D^{^{'}} F$ ⊥CD时， $\frac{C F}{D F}$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{8}$

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二、填空题（每题3分，共18分）

13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿着 $B E$ 翻折得到 $△ F B E$ ， $E F$ 交 $B C$ 于点 $H$ ，延长 $B F$ ， $D C$ 相交于点 $G$ ，若 $D G = 8$ ， $B C = 12$ ，则 $E H =$ ．

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14. 如图是一张菱形纸片， $∠ D A B = 60 °$ ， $A B = 5$ ，点 $E$ 在边 $A D$ 上，且 $D E = 2$ ，点 $F$ 在 $A B$ 边上，把 $△ A E F$ 沿直线 $E F$ 对折，点 $A$ 的对应点为点 $A ′$ ，当点 $A ′$ 落在菱形对角线上时，则 $A F =$ 。

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15. 如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于．

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16. 如图，在扇形AOB中，点C，D在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，将D沿弦 $\overset{⌢}{C D}$ 折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F.已知∠AOB=120°，OA=6，则 $\overset{⌢}{E F}$ 的度数为，折痕CD的长为.

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17. 如图，腰长为2 $\sqrt{2} +$ 2的等腰 $△$ ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将 $△$ ACD沿CD折叠，点A落在点E处，当CE与 $△$ ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一动点．连接 $B D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折叠，得到 $△ E B D$ ，其中点 $A$ 落在 $E$ 处， $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，当 $△ E D F$ 为直角三角形时， $E F$ 长度是．

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三、解答题（共2题，共13分）

19. 等边 $△ A B C$ 中， $B C = 4 ， A H ⊥ B C$ 于点 $H$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上一动点，连接 $A D$ ，点 $B$ 关于直线 $A D$ 的对称点为点 $E$ ，连接 $A E ， D E ， C E$ ．

(1)、如图1，点 $E$ 恰好落在 $A H$ 的延长线上，则求 $∠ B C E =$ $°$ ；

(2)、过点 $D$ 作 $D G ∥ A C$ 交 $A B$ 于点 $G$ ，连接 $G E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ．
①如图2，试判断线段 $A F$ 、 $E F$ 和 $C E$ 之间的数量关系，并说明理由：
②如图3，直线 $G E$ 交 $A H$ 于点 $M$ ，连接 $B M ， D$ 点运动的过程中．当 $B M + G M$ 取最小值时，请直接写出线段 $D G$ 的长度．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ，点E是 $B C$ 边上一点，连接 $A E$ ，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠得到 $△ A F E$ ，边 $A F$ ， $E F$ 分别交 $C D$ 于点M ， N ．

(1)、求证： $△ A D M ∽ △ N C E$ ；

(2)、当 $C E = F M$ 时．
①求BE的长；
②若点P是 $A B$ 边上的动点，连接 $P F$ ，过点A作 $P F$ 的垂线交线段 $B E$ 于点Q ，试探究 $\frac{P F}{A Q}$ 的值是否发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请求出 $\frac{P F}{A Q}$ 的值．

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四、实践探究题（共4题，共33分）

21. 如图，在△ABC中，已知∠BAC =45°，AD⊥BC于点 D，BD=2，DC=3，求AD 的长.
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.
请按照小萍同学的思路，探究并解答下列问题：

(1)、分别以 AB，AC 为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点 D 的对称点分别为E，F，延长 EB，FC相交于点G.求证：四边形AEGF 是正方形.

(2)、设 AD=x，利用勾股定理，建立关于 x的方程，求出 AD的长.

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22.

(1)、【初步探究】把矩形纸片 $A B C D$ 如图①折叠，当点B的对应点 $B^{'}$ 在 $M N$ 的中点时，填空： $△ E B^{'} M$ $△ B^{'} A N$ （“ $≌$ ”或“ $∽$ ”）．

(2)、【类比探究】
如图②，当点B的对应点 $B^{'}$ 为 $M N$ 上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．

(3)、【问题解决】
在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， B C = 6$ ，点E为 $B C$ 中点，点P为线段 $A B$ 上一个动点，连接 $E P$ ，将 $△ B P E$ 沿 $P E$ 折叠得到 $△ B^{'} P E$ ，连接 $D E ， D B^{'}$ ，当 $△ E B^{'} D$ 为直角三角形时， $B P$ 的长为．

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23. 【提出问题】如图 $1$ ，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边作等边 $△ A B E$ 和等边 $△ A C D$ ， $D C$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ，连接 $C E$ ．

(1)、【初步探究】如图 $1$ ，连接 $D B$ ，求证： $△ A D B$ ≌ $△ A E C$ ．

(2)、【深入探究】如图 $2$ ，将 $△ A D C$ 沿 $A C$ 翻折得到 $△ A D^{'} C$ ，连接 $D^{'} E$ ， $B D^{'}$ ，类比 $(1)$ 的探究方法发现：
结论 $①$ ：_▲_≌ $△ A B C$ ；
结论 $②$ ： $B D^{'} / / C E$ ．
请证明结论 $②$ ．

(3)、如图 $3$ 、在 $(2)$ 的情况下将线段 $A B$ 沿 $A E$ 翻折得到线段 $A B^{'}$ ，连接 $B^{'} D^{'}$ ， $A F$ ，试判断线段 $B^{'} D^{'}$ 与 $A F$ 的位置关系．

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24.

(1)、【探究发现】如图①所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $C D$ 边于 $G$ 点．求证： $△ B F G ≌ △ B C G$

(2)、【类比迁移】如图②，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 边上一点，且 $A D = 8 ， A B = 6 ，$ 将 $△ A E B$ 沿 $B E$ 翻折到 $△ B E F$ 处，延长 $E F$ 交 $B C$ 边于点 $G ，$ 延长 $B F$ 交 $C D$ 边于点 $H ，$ 且 $F H = C H ，$ 求 $A E$ 的长．

(3)、【拓展应用】如图③，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $E$ 为 $C D$ 边上的三等分点， $∠ D = 60 ° ，$ 将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 翻折得到 $△ A F E$ ，直线 $E F$ 交 $B C$ 于点 $P ，$ 求 $C P$ 的长．

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