浙江省新力量联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-09 类型：期中考试

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一、､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）

1. 已知 $A (3, 7), B (5, 2)$ ，把向量 $\vec{A B}$ 按向量 $\vec{a} = (1, 2)$ 平移后，所得向量 $\vec{A^{'} B^{'}}$ 的坐标是（）

A、 $(- 1, 7)$ B、 $(1, - 7)$ C、 $(2, - 5)$ D、 $(3, - 3)$

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2. 在 $△ A B C$ 中，“ $A > B$ ”是“ $s i n A > s i n B$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $| \vec{a} | = 6, | \vec{b} | = 3$ ，向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的模长是4，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 可能为（）

A、12 B、8 C、-8 D、2

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4. 有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $A B C D$ （如图），其中 $∠ A B C = 4 5^{∘}, A D = C D = 1, B C ⊥ C D$ ，则这块菜地的面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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5. 已知锐角 $△ A B C$ 三边长分别为 $x$ ， $\sqrt{5}$ ， $x + 1$ ，则实数 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3)$ C、 $(\frac{2}{5} ， 2)$ D、 $(2 ， 5)$

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6. 如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $A A_{1} = 8$ .若侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时，水面恰好过 $A C, B C$ ， $A_{1} C_{1}, B_{1} C_{1}$ 的中点.那么当底面 $A B C$ 水平放置时，水面高为（）

A、7 B、6 C、4 D、3

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7. 在 $△ A B C$ 中，由下面的条件能得出 $△ A B C$ 为钝角三角形的是（）

A、 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} < 0$ B、 $s i n A + c o s A = \frac{1}{5}$ C、 $c o s A c o s B c o s (A + B) < 0$ D、 $b = 3, c = 3 \sqrt{3}, B = 3 0^{∘}$

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8. 在钝角 $△ A B C$ 中， $a ， b ， c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，若 $A G ⊥ B G$ ，则 $c o s C$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ B、 $[\frac{4}{5} ， \frac{\sqrt{6}}{3})$ C、 $(\frac{\sqrt{6}}{3} ， 1)$ D、 $[\frac{4}{5} ， 1)$

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二、､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）

9. 设向量 $\vec{a} = (k, 2), \vec{b} = (1, - 1)$ ，则下列叙述正确的是（）

A、若 $k = - 3$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 B、 $| \vec{a} |$ 的最小值为2 C、与 $\vec{b}$ 垂直的单位向量只能为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、若 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ，则 $k = \pm 2 \sqrt{2}$

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10. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_{1} (c o s α, s i n α), P_{2} (c o s β, - s i n β), P_{3} (c o s (α + β), s i n (α + β)), A (1, 0)$ ，则（）

A、 $| O P_{1} | = | O P_{2} |$ B、 $| A P_{1} | = | A P_{2} |$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O P_{3}} = \vec{O P_{1}} \cdot \vec{O P_{2}}$ D、 $\vec{O A} \cdot \vec{O P_{1}} = \vec{O P_{2}} \cdot \vec{O P_{3}}$

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11. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有（）

A、直径为0.99m的球体 B、所有棱长均为1.4m的四面体 C、底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体 D、底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体

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三、､填空题：（本大题共3小题，每题5分，共15分）

12. 在正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 ， A_{1} B_{1} = 1 ， A A_{1} = \sqrt{2}$ ，则该棱台的体积为.

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13. 为了测量一古塔的高度，某人在塔的正西方向的 $A$ 地测得塔尖的仰角为 $4 5^{∘}$ ，沿北偏东 $3 0^{∘}$ 前进100米到达 $B$ 地（假设 $A$ 地和 $B$ 地在海拔相同的地面上），在 $B$ 地测得塔尖的仰角为 $3 0^{∘}$ ，则塔高为米.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $M$ 为 $B C$ 上不同于B ， C的任意一点，点 $N$ 满足 $\vec{A N} = 2 \vec{N M}$ ，若 $\vec{A N} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则 $x^{2} + 9 y^{2}$ 的最小值为.

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四、､解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）

15. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (3, x), \vec{c} = (2, y)$ ，且 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}, \vec{a} ⊥ \vec{c}$ .

(1)、求 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 的夹角的大小.

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16. 记 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{c o s A} = 2$ ．

(1)、求 $b c$ ；

(2)、若 $\frac{a c o s B - b c o s A}{a c o s B + b c o s A} - \frac{b}{c} = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积．

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17. 求一个棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体的体积，常有如下解法：构造一个棱长为1的正方体，我们称之为该四面体的“生成正方体”（如图一），则四面体 $B D A_{1} C_{1}$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体，四面体 $B D A_{1} C_{1}$ 的体积 $V_{四面体 B D A_{1} C_{1}} = V_{正方体} - V_{A_{1} - A B D} - V_{C_{1} - B C D} - V_{B - A_{1} B_{1} C_{1}} - V_{D - A_{1} C_{1} D_{1}}$ .

(1)、求四面体 $B D A_{1} C_{1}$ 的体积；

(2)、模仿（1），对一个已知四面体，构造它的“生成平行六面体”，记两者的体积依次为 $V_{四面体}$ 和 $V_{生成平行六面体}$ ，试给出这两个体积之间的一个关系式，不必证明；

(3)、一个相对棱长都相等的四面体，通常称之为等腰四面体（如图二），其三组对棱长分别为 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{10}$ ， $\sqrt{13}$ ，求此四面体的体积.

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18. 设 $z_{1}$ 是虚数， $z_{2} = z_{1} + \frac{1}{z_{1}}$ 是实数，且 $- 1 ⩽ z_{2} ⩽ 1$ ；

(1)、求 $| z_{1} |$ 的值以及 $z_{1}$ 的实部的取值范围；

(2)、若 $ω = \frac{1 - z_{1}}{1 + z_{1}}$ ，求证 $ω$ 为纯虚数；

(3)、在（2）条件下求 $z_{2} - ω^{2}$ 的最小值.

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19. 在直角梯形 $A B C D$ 中，已知 $A B ∥ C D, ∠ D A B = 90 °, A B = 6, A D = C D = 3$ ，对角线 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，点 $M$ 在 $A B$ 上，且 $O M ⊥ B D$ .

(1)、求 $\vec{A M} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、若 $N$ 为线段 $A C$ 上任意一点，求 $\vec{A N} \cdot \vec{M N}$ 的取值范围.

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