广东省深圳市2024届高三第二次调研考试（二模）数学试题

试卷更新日期：2024-05-09 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知n为正整数，且 $n^{2} > 2^{n}$ ，则

A、 $n = 1$ B、 $n = 2$ C、 $n = 3$ D、 $n ≥ 4$

查看试题解析
2. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，过点A且以 $\vec{D B_{1}}$ 为法向量的平面为 $α$ ，则 $α$ 截该正方体所得截面的形状为

A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形

查看试题解析
3. 对于任意集合M，N，下列关系正确的是

A、 $M ∪ ∁_{M ∪ N} N = M ∪ N$ B、 $∁_{M ∪ N} (M ∩ N) = (∁_{M ∪ N} M) ∪ (∁_{M ∪ N} N)$ C、 $M ∩ ∁_{M ∪ N} N = M ∩ N$ D、 $∁_{M ∪ N} (M ∩ N) = (∁_{M ∪ N} M) ∩ (∁_{M ∪ N} N)$

查看试题解析
4. 已知 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ，则函数 $y = l o g_{a} (x + \frac{1}{a})$ 的图象一定经过

A、一、二象限 B、一、三象限 C、二、四象限 D、三、四象限

查看试题解析
5. 已知 $z = \frac{2}{1 + i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $\bar{z} \cdot (z - 1) =$

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $- 1 - i$

查看试题解析
6. 已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有

A、72种 B、96种 C、144种 D、288种

查看试题解析
7. P是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）上一点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是C的两个焦点， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，点Q在 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线上，O为原点， $O Q ∥ P F_{1}$ ，且 $| O Q | = b$ ．则C的离心率为

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
8. 设函数 $f (x) = x + e^{x}$ ， $g (x) = x + l n x$ ，若存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、2 D、e

查看试题解析

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知m，n是异面直线， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，那么

A、当 $m ⊥ β$ ，或 $n ⊥ α$ 时， $α ⊥ β$ B、当 $m ∥ β$ ，且 $n ∥ α$ 时， $α ∥ β$ C、当 $α ⊥ β$ 时， $m ⊥ β$ ，或 $n ⊥ α$ D、当 $α$ ， $β$ 不平行时，m与 $β$ 不平行，且n与 $α$ 不平行

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = s i n ω x + a c o s ω x$ （ $x \in R$ ， $ω > 0$ ）的最大值为2，其部分图象如图所示，则

A、 $a = \sqrt{3}$ B、函数 $f (x - \frac{π}{6})$ 为偶函数 C、满足条件的正实数 $ω$ ，存在且唯一 D、 $f (x)$ 是周期函数，且最小正周期为 $π$

查看试题解析
11. 设函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数 $y = f (x)$ 的图象与圆 ${(x - t)}^{2} + {(y + t)}^{2} = 2 t^{2}$ （ $t > 0$ ）的公共点个数可以是

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知样本 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的平均数为2，方差为1，则 $x_{1}^{2}$ ， $x_{2}^{2}$ ， $x_{3}^{2}$ 的平均数为．

查看试题解析
13. 已知圆锥的内切球半径为1，底面半径为 $\sqrt{2}$ ，则该圆锥的表面积为．
注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球．

查看试题解析
14. 已知△ABC中， $t a n \frac{B}{2} = 3 t a n \frac{C}{2}$ ，双曲线E以B，C为焦点，且经过点A，则E的两条渐近线的夹角为； $t a n \frac{A}{2} + t a n \frac{C}{2}$ 的取值范围为．

查看试题解析

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 底面ABC，且 $A B = A C$ ， $A_{1} B = A_{1} C$ ．

(1)、证明： $A A_{1} ⊥$ 平面ABC；

(2)、若 $A A_{1} = B C = 2$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值．

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = (a x + 1) e^{x}$ ， $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f' (x) - f (x) = 2 e^{x}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线为 $y = k x + b$ ，求k，b的值；

(2)、在（1）的条件下，证明： $f (x) ≥ k x + b$ ．

查看试题解析
17. 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%．

(1)、从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)、为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率．
设事件 $A =$ “甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件 $B =$ “该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知 $0 < P (B) < 1$ ，证明： $P (A | B) > P (A | \bar{B})$ ．

查看试题解析
18. 设抛物线C： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ），直线l： $y = k x + 2$ 交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线 $y = - 2$ 于点M．对任意 $k \in R$ ，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线 $l' ∥ l$ ，且l＇与C相切于点N，证明：△AMN的面积不小于 $2 \sqrt{2}$ ．

查看试题解析
19. 无穷数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ， …的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_{n}$ ﹔如果n是奇数，就对 $3 n + 1$ 尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是 $a_{n}$ ．

(1)、写出这个数列的前7项；

(2)、如果 $a_{n} = m$ 且 $a_{m} = n$ ，求m，n的值；

(3)、记 $a_{n} = f (n)$ ， $n \in N^{*}$ ，求一个正整数n，满足 $n < f (n) < f (f (n)) < ⋯ < \underset{2024 个 f}{\underset{︸}{f (f (⋯ f (n) ⋯))}}$ ．

查看试题解析