山东省菏泽市鲁西新区2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

A、笛卡尔爱心曲线 B、蝴蝶曲线
C、费马螺线曲线 D、科赫曲线

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2. 已知 $a < b$ ，下列不等式变形不正确的是( )

A、 $a + 2 < b + 2$ B、 $3 a < 3 b$ C、 $- \frac{a}{2} < - \frac{b}{2}$ D、 $2 a - 1 < 2 b - 1$

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3. 如图，要把河中的水引到水池 $A$ 中，应在河岸 $B (A B ⊥ C D$ 于点 $B)$ 处开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是( )

A、垂线段最短 B、点到直线的距离 C、两点确定一条直线 D、两点之间线段最短

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4. 如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是( )

A、 $x < - 1$ 或 $x \geq 3$ B、 $x \leq - 1$ 或 $x > 3$ C、 $- 1 \leq x < 3$ D、 $- 1 < x \leq 3$

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5. 如图，已知点A（2，3），B（5，1），若将线段AB平移至A₁B₁ ， A₁在y轴正半轴上，B₁在x轴上，则A₁的纵坐标、B₁的横坐标分别为（）

A、2，3 B、1，4 C、2，2 D、1，3

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6. 如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（）

A、PM+PN＝AB B、PM+PN＝BC C、PM+PN＝2BC D、PM+PN＝AB+BC

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7. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $120 °$ 得到 $△ A B' C'$ ，若点 $C$ ， $B$ ， $C'$ 共线，则 $∠ A C B$ 的度数为( )

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $15 °$

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8. 已知直线 $y = k x + 3$ 与直线 $y = a x + 6$ 的交点的横坐标是 $- 3 .$ 下列结论： $① k > 0$ ； $② | k | < | a |$ ； $③$ 方程 $k x + 3 = a x + 6$ 的解是 $x = - 3$ ； $④$ 不等式 $k x + 3 > a x + 6$ 的解集是 $x < - 3 .$ 其中所有正确结论的序号是( )

A、 $① ②$ B、 $② ③$ C、 $③ ④$ D、 $③$

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9. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 1$ ，点 $Q$ 在直线 $B C$ 上，且 $A Q = 2$ ，则线段 $B Q$ 的长为( )

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{5}$
C、 $\sqrt{3} + 1$ 或 $\sqrt{3} - 1$ D、 $\sqrt{5} + 1$ 或 $\sqrt{5} - 1$

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10. 对于任意实数 $p$ 、 $q$ ，定义一种运算： $p$ @ $q = p + q - p q$ ，如： $2$ @ $3 = 2 + 3 - 2 \times 3$ ，请根据以上定义解决问题：若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 @ x > 0 \\ x @ 3 ⩽ m \end{array}$ 有 $2$ 个整数解，则 $m$ 的取值范围为是( )

A、 $3 ⩽ m < 5$ B、 $3 < m ⩽ 5$ C、 $3 ⩽ m ⩽ 5$ D、 $3 < m < 5$

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二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11. 用不等式表示“x的2倍与3的差不小于0” ．

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12. 可以用一个m的值说明命题“如果m能被2整除，那么它也能被4整除”是假命题，这个值可以是m＝．

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13. 如图，在三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，比较线段 $A B$ ， $B C$ ， $A D$ 长度的大小，用“ $<$ ”连接为．

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14. 如图， $△ O A B$ 是等腰直角三角形， $O (0,0)$ ， $B (4,0)$ ，将 $△ O A B$ 绕点 $O$ 旋转 $180 °$ ，得到 $△ O A' B'$ ，此时点 $A'$ 的坐标为．

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15. 关于 $x$ 的不等式 $a x > b$ 的解集是 $x < \frac{b}{a} .$ 写出一组满足条件的 $a$ ， $b$ 的值： $a =$ ， $b =$ ．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 3,0)$ ， $B (0,4)$ ，将 $R t △ A B O$ 顺着 $x$ 轴无滑动的滚动 $.$ 第一次滚动到 $①$ 的位置，点 $A$ 的对应点记作点 $A_{1}$ ；第二次滚动到 $②$ 的位置，点 $A_{1}$ 的对应点记作点 $A_{2}$ ；第三次滚动到 $③$ 的位置，点 $A_{2}$ 的对应点记作点 $A_{3}$ ； $\dots$ ；依次进行下去，发现点 $A (- 3,0)$ ， $A_{1} (0,3)$ ， $A_{2} (9,0)$ ， $\dots$ ，则点 $A_{2024}$ 的坐标为．

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三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解不等式 $\frac{1 + 2 x}{3} > x - 1$ ，并写出它的所有正整数解．

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18. 如图所示，将两个含30°角的三角尺摆放在一起，可以证得△ABD是等边三角形，于是我们得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

交换命题的条件和结论，得到下面的命题：

在直角△ABC中，∠ACB=90°，如果 $C B = \frac{1}{2} A B$ ，那么∠BAC=30°．

请判断此命题的真假，若为真命题，请给出证明；若为假命题，请说明理由.

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19. 某学校的编程课上，一位同学设计了一个运算程序，如图所示 $.$ 按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于 $23$ ”为一次运行．

(1)、若 $x = 5$ ，请通过计算写出该程序需要运行多少次才停止；

(2)、若该程序只运行了 $2$ 次就停止了，求 $x$ 的取值范围．

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20. $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 $1$ 个单位长度．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 的中心对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、平移 $△ A B C$ ，点 $A$ 的对应点 $A_{2}$ 的坐标为 $(3,5)$ ，画出平移后对应的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、请写出 $(2)$ 中点 $A$ 的平移距离．

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21. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ， $C D = 1.5$ ， $B D = 2.5$ ．

$(1)$ 求点 $D$ 到直线 $A B$ 的距离；

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22. 阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交点横坐标，是一元一次方程 $k x + b = 0 (k \neq 0)$ 的解；在 $x$ 轴下方的图象所对应的 $x$ 的所有值是 $k x + b < 0 (k \neq 0)$ 的解集，在 $x$ 轴上方的图象所对应的 $x$ 的所有值是 $k x + b > 0 (k \neq 0)$ 的解集．
例，如图 $1$ ，一次函数 $k x + b = 0 (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (1,0)$ ，则可以得到关于 $x$ 的一元一次方程 $k x + b = 0 (k \neq 0)$ 的解是 $x = 1$ ； $k x + b < 0 (k \neq 0)$ 的解集为 $x < 1$ ．

结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：

(1)、通过图 $1$ 可以得到 $k x + b > 0 (k \neq 0)$ 的解集为；

(2)、通过图 $2$ 可以得到
$①$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的解为；
$②$ 关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0 (a \neq 0)$ 的解集为．

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23. 如图，数轴上两点 $A$ 、 $B$ 对应的数分别是 $- 1$ ， $1$ ，点 $P$ 是线段 $A B$ 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点 $Q$ ，满足 $| P Q | = 2$ ，那么我们把这样的点 $Q$ 表示的数称为连动数，特别地，当点 $Q$ 表示的数是整数时我们称为连动整数．

(1)、 $- 3$ ， $0$ ， $2.5$ 是连动数的是；

(2)、关于 $x$ 的方程 $2 x - m = x + 1$ 的解满足是连动数，求 $m$ 的取值范围；

(3)、当不等式组 $\{\begin{array}{l} \frac{x + 1}{2} > - 1 \\ 1 + 2 (x - a) \leq 3 \end{array}$ 的解集中恰好有 $4$ 个解是连动整数时，求 $a$ 的取值范围．

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24. 【提出问题】
如图 $1$ ，等腰直角三角形 $A B C$ 中， $A C = B C = 2$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $A C$ 上一点，将线段 $B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转 $90 °$ 至 $D E$ ，连接 $A E$ ， $B E$ ，探究 $A B$ ， $A D$ ， $A E$ 之间的数量关系．
【分析问题】
小明在思考这道题时，想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点 $D$ 作 $A C$ 的垂线与 $A B$ 相交于点 $F ($ 如图 $2)$ ，通过证明 $△ D A E$ ≌ $△ D F B$ ，最终探究出 $A B$ ， $A D$ ， $A E$ 之间的数量关系．

(1)、根据小明的思路，补全 $△ D A E$ ≌ $△ D F B$ 的证明过程；

(2)、直接写出 $A B$ ， $A D$ ， $A E$ 之间的数量关系：；

(3)、【拓展思考】如图 $3$ ，延长 $E A$ 、 $B C$ 相交于点 $M$ ，点 $N$ 是 $B E$ 的中点，若 $M$ ， $D$ ， $N$ 三点共线时，求线段 $A D$ 的长度．

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