山东省济宁市嘉祥县2022-2023学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列正确的是( )

A、 $\sqrt{4 + 9} = 2 + 3$ B、 $\sqrt{4 \times 9} = 2 \times 3$ C、 $\sqrt{3^{4}} = (\sqrt{3})^{2}$ D、 $\sqrt{4.9} = 0.7$

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2. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，则 $D E =$ ( )

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $1$ D、 $3$

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3. 下列各组数中，不能构成直角三角形的是( )

A、 $2$ ， $3$ ， $4$ B、 $5$ ， $12$ ， $13$ C、 $6$ ， $8$ ， $10$ D、 $3$ ， $4$ ， $5$

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4. 将整体一分为二，当较大部分与整体部分的比值等于 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 时被公认为是最能引起美感的黄金分割，下列估算正确的是( )

A、 $0 < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{5} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2} < \frac{\sqrt{5} - 1}{2} < 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} > 1$

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5. 下列命题中，是真命题的有（）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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6. 若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（　　）

A、互相平分 B、互相平分且相等 C、互相垂直 D、相等

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7. 如图， $《$ 九章算术 $》$ 中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈 $($ 一丈 $=$ 十尺 $)$ ，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 $6$ 尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面 $x$ 尺，根据题意，可列方程为( )

A、 $x^{2} + 6^{2} = 10^{2}$ B、 $(10 - x)^{2} + 6^{2} = x^{2}$
C、 $x^{2} + (10 - x)^{2} = 6^{2}$ D、 $x^{2} + 6^{2} = (10 - x)^{2}$

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8. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）

A、 $\frac{13}{6}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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9. 如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）

A、2 $\sqrt{3}$ +2 B、5- $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、3- $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$ +1

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10. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）

A、当 t＝4s 时，四边形 ABMP 为矩形 B、当 t＝5s 时，四边形 CDPM 为平行四边形 C、当 CD＝PM 时，t＝4s D、当 CD＝PM 时，t＝4s 或6s

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二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11. 如图所示的四边形 $O A B C$ ， $∠ A = ∠ O B C = 90 ° .$ 若 $A B = B C = 1$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，则 $O C$ 的长度是．

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12. 小明钉了一个长与宽分别为 $12$ 厘米和 $9$ 厘米的长方形木框，为了增加其稳定性，他准备沿长方形的对角线钉上一根木条，这根木条的长应为厘米．

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13. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 的平分线 $B E$ 交 $A D$ 于 $E$ ， $A B = 5$ ， $B C = 8$ ，则 $D E$ 的长是．

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14. 将一组数 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ ， $3$ ， $2 \sqrt{3}$ ， $\dots$ ， $3 \sqrt{7}$ ，按下列方式进行排列：
$\sqrt{3}$ ， $\sqrt{6}$ ， $3$ ， $2 \sqrt{3}$ ；
$\sqrt{15}$ ， $3 \sqrt{2}$ ， $\sqrt{21}$ ， $2 \sqrt{6}$ ；
$\dots$
若 $3$ 的位置记为 $(1,3)$ ， $\sqrt{15}$ 的位置记为 $(2,1)$ ， $2 \sqrt{6}$ 的位置记为 $(2,4)$ ，则 $3 \sqrt{7}$ 的位置记为．

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三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{48} \div \sqrt{3} - (2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ ；

(2)、 $(\sqrt{12} - \sqrt{\frac{4}{3}}) \times \sqrt{3}$ ．

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16. 如图，已知 $△ A B C$ 中 $∠ C = 90 °$ ， $A B = (2 \sqrt{6} + \sqrt{3}) c m$ ， $B C = (\sqrt{6} + 2 \sqrt{3}) c m$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17. 已知：如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 为对角线 $B D$ 上两点，且 $∠ B A E = ∠ D C F .$ 求证： $B F = D E$ ．

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18. 如图所示，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．

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19. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $8$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点， $H G$ 垂直平分 $A E$ 且分别交 $A E$ 、 $B C$ 于点 $H$ 、 $G$ ，求 $B G$ 的长．

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20. 如图 $1$ ，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 边上， $D E = A F$ ， $D E ⊥ A F$ 于点 $G$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是正方形；
小明的部分证明过程如下，请你帮助小明把横线上部分补全；
证明： $∵$ 四边形 $A B C D$ 是矩形，
$∴ ∠ D A B = ∠ B = 90 °$ ，
$∵ D E ⊥ A F$ ，
$∴$      ▲  ，
$∴ ∠ B A F + ∠ D A F = 90 °$ ， $∠ A D E + ∠ D A F = 90 °$ ，
$∴$      ▲  ，
$∵ D E = A F$ ，
$∴ △ A D E$ ≌ $△ ▲ (A A S)$ ，
$∴$      ▲  ，
$∵$ 四边形 $A B C D$ 是矩形，
$∴$ 四边形 $A B C D$ 是正方形；

(2)、延长 $C B$ 到点 $H$ ，使得 $B H = A E$ ，判断 $△ A H F$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图 $2$ ，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $B C$ 边上， $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G$ ， $D E = A F$ ， $∠ A E D = 60 °$ ， $A E = 6$ ， $B F = 2$ ，请直接写出 $D E$ 的长．

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