2024年中考数学精选压轴题之三角形全等

试卷更新日期：2024-05-08 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图，在平面直角坐标系中， $O A = A B$ ，且 $∠ O A B = 90 °$ ， $A (- 1,3)$ 则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(1,4)$ B、 $(2,4)$ C、 $(3,4$ $)$ D、 $(4,4)$

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2. 如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 是对角线， $△ A B C$ 是等边三角形， $∠ A D C = 30 °$ ， $A D = 3$ ， $B D = 5$ ，则 $C D$ 的长为．（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $4$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $4.5$

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3. 如图，正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点O， $A E$ 平分 $∠ C A D$ 交 $B D$ 于点E.过点E作 $E F ⊥ A E$ ，交 $B C$ 于点F，若四边形 $A E F B$ 的面积为1，则 $C D$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 如图， $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $O A = 6, O B = 8, O C = 10$ ，将线段 $B O$ 以点 $B$ 为旋转中心逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B O^{'}$ ，下列结论：① $△ B O^{'} A$ 可以由 $△ B O C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到；②点 $O$ 与 $O^{'}$ 的距离为6；③ $∠ A O B = 150 °$ ；④ $S_{四边形 A O B O^{'}} = 24 + 12 \sqrt{3}$ ；⑤ $S_{△ B O C} = 12 + 16 \sqrt{3}$ ．其中正确的结论有（）个

A、5 B、4 C、3 D、2

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5. 如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $B D ， C E$ 交于点F，连接 $A F$ ，下列结论：① $B D = C E$ ；② $B F ⊥ C F$ ；③ $A F$ 平分 $∠ C A D$ ；④ $∠ A F E = 45 °$ .其中正确结论的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，已知△ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，三角形的顶点在相互平行的三条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 上，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 之间的距离为1， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 之间的距离为2，则 $A C^{2}$ 的值是（）

A、10 B、13 C、20 D、26

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7. 将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形 $A B C D$ ，记 $△ A E D$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $E F C G$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $E G ∥ C F$ ， $E G = 3$ ， $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{6}$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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8. 如图，正方形 $A B C D$ ，点 $F$ 在边 $A B$ 上，且 $A F : F B = 1 : 2$ ， $C E ⊥ D F$ ，垂足为 $M$ ，且交 $A D$ 于点 $E$ ， $A C$ 与 $D F$ 交于点 $N$ ，延长 $C B$ 至 $G$ ，使 $B G = \frac{1}{2} B C$ ，连接 $G M$ ，有如下结论： $①$ $D E = A F$ ； $②$ $A N = \frac{\sqrt{2}}{4} A B$ ； $③$ $∠ A D F = ∠ G M F$ ； $④$ $S_{△ A N F} : S_{四边形 C N F B} = 1 : 8$ ．上述结论中，正确的个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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9. 如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（）

A、①②③ B、②③④ C、③④⑤ D、②③④⑤

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10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①④

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11. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A ， E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD ， AD与BE交于点O ， AD与BC交于点P ， BE与CD交于点Q连接PQ ．以下五个结论正确的是（）
① $A D = B E$ ；②PQ∥AE； ③ $A P = B Q$ ；④ $D E = D P$ ；⑤ $∠ A O B = 6 0^{∘}$

A、①③⑤ B、①③④⑤ C、①②③⑤ D、①②③④⑤

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12. 如图，已知 $∠ A O B = 120 °$ ，点 $D$ 是 $∠ A O B$ 的平分线上的一上定点，点 $E$ ， $F$ 分别在射线 $O A$ 和射线 $O B$ 上，且 $∠ E D F = 60 °$ .下列结论：① $△ D E F$ 是等边三角形；②四边形 $D E O F$ 的面积是一个定值；①当 $D E ⊥ O A$ 时， $△ D E F$ 的周长最小；④当 $D E ∥ O B$ 时， $D F$ 也平行于 $O A$ .其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 的中点，连接 $B E$ ，将 $△ A B E$ 沿着 $B E$ 翻折得到 $△ F B E$ ， $E F$ 交 $B C$ 于点 $H$ ，延长 $B F$ ， $D C$ 相交于点 $G$ ，若 $D G = 8$ ， $B C = 12$ ，则 $E H =$ ．

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14. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，D为斜边 $A C$ 的中点，点E在边 $A B$ 上，将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 叠至 $△ F C E$ ．若 $E F$ 的延长线经过点D ， $C F$ 平分 $∠ A C B$ ， $B E = 1$ ，则 $\frac{D E}{A E}$ 的值为， $A B$ 的长为．

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15. 如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝.

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16. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点E为 $A B$ 上一点，将 $△ B C E$ 沿 $C E$ 翻折至 $△ F C E$ ，延长 $C F$ 交 $A B$ 于点O ，交 $D A$ 的延长线于点G ，且 $E F = A G$ ，则 $B E$ 的长为．

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17. 如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6， $∠ E A F = 45 °$ ，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若 $C E = 4$ ，则DN为．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 3 0^{°} ， A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上， $∠ C A E = 7 5^{°}$ ，若 $C E = B A + A C$ ，则 $∠ B$ 的度数为．

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三、解答题

19. 在△ABC中，AC＝BC ， ∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°

(1)、当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE²＝AD²+BE²（不必证明）；

(2)、如图，当点D不与点A重合时，求证：DE²＝AD²+BE²；

(3)、当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．

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20. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $M$ 为边 $A B$ 的中点，点 $D$ 在边 $B C$ 上．

(1)、若 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $M D ⊥ A B ($ 如图 $①)$ ，求 $M D$ 的长；

(2)、过点 $M$ 作 $M E ⊥ M D$ 与边 $A C$ 交于点 $E ($ 如图 $②)$ ，试探究：线段 $A E$ 、 $E D$ 、 $D B$ 三者之间的数量关系，并证明你的结论．

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21. 已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰三角形，且 $A B = A C$ ， $A D = A E$ ，若点D在 $B C$ 边上运动时，总保持 $∠ A D E = ∠ B$ ，连接 $C E, D E$ 与 $A C$ 交于点F ．

(1)、①如图1，当点D为 $B C$ 边中点时，则 $\frac{C E}{B C}$ 的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为 $B C$ 边中点时，求证： $C E = B D$ ；

(2)、如图3，当点D在 $B C$ 边上运动中恰好使得 $A E ∥ B C$ 时，若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，求 $D F$ 的长．

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22. $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B = 6$ ，点 $D$ 是 $R t △ A B C$ 直角边 $B C$ 所在直线 $l$ 上一点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为直角边向上作等腰 $△ A D E$ ， $∠ A D E = 90 °$ ， $A D = D E$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ l$ ，垂足为 $F$ ．

(1)、如图1，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上，且 $C D = 2$ 时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出 $D F =$ ； $E F =$ ；

(2)、如图2，当点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上，且 $C D = 2$ 时：
①请你由观察、猜想直接写出 $E F =$ _▲_；
②请你规范、严谨的证明： $C D = B F$ ．

(3)、如图3，当点 $D$ 在线段 $C B$ 的延长线上，且 $B D = 2$ 时，点 $P$ 为线段 $A D$ 上任意一点，以 $C P$ 为斜边向上做等腰 $R t △ C P G$ ， $C G = P G$ ， $∠ C G P = 90 °$ ，连接 $A G$ ，已知 $A D = 10$ ，请你直接写出当 $A G$ 长度最短时，线段 $A P$ 的值为．

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23. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．

(1)、如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；

(2)、如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；

(3)、如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关系，并证明你的猜想．

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24. 如图， $C D$ 为 $△ A B C$ 的中线，以 $C D$ 为直角边在其右侧作直角 $△ C D E$ ， $C D 丄 D E$ ， $B C$ 与 $D E$ 交于点F ， $∠ C E D = 30 °$ ．

(1)、如图1，若 $C F = E F = 5$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、如图2，若将 $B C$ 绕点C逆时针旋转 $120 °$ 得到 $C G$ ，连接 $A G$ 、 $A E$ ，探究 $A G$ 、 $A E$ 的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，若 $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $C E$ 上有一点M ，连接 $M F$ ，将 $△ C F M$ 沿着 $M F$ 翻折到 $△ A B C$ 所在的平面内得到 $△ N F M$ ，取 $N F$ 的中点P ，连接 $A P$ ，当 $A P$ 最小时，请直接写出 $△ A P B$ 的面积．

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25. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD ， BC＝DC ，在边BC、DC所在直线上分别有E、F两点，且始终有 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ .

(1)、如图1，当E、F在BC、DC上，AE＝AF时，求证：BE＋DF＝EF；

(2)、如图2，当E、F在BC、DC上，AE≠AF时，（1）问中的结论是否仍成立请说理；

(3)、如图3，当E、F在边BC、DC的延长线上时，直接写出BE、DF、EF之间的数量关系，不必证明.

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26. 在 $△ A B C$ 中， $A B = B C ， ∠ A B C = 9 0^{∘}$ ，点 $D$ 是边 $A C$ 上一点，连接 $D B$ ，过点 $C$ 作直线 $B D$ 的垂线，垂足为点 $E$

(1)、如图1，若 $A F ⊥ B D$ 于点 $F$ ，求证： $C E = B F$ ；

(2)、如图2，在线段 $E C$ 上截取 $E G = E B$ ，连接 $A G$ 交 $B D$ 于点 $H$ ，求证： $C G = 2 E H$ ；

(3)、如图3，若点 $D$ 为 $A C$ 的中点，点 $M$ 是线段 $B C$ 延长线上的一点，连接 $D M$ ，求 $C M$ ， $B M$ ， $D M$ 的数量关系

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