2024年中考数学精选压轴题之反比例函数与几何综合

试卷更新日期：2024-05-08 类型：三轮冲刺

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一、选择题

1. 如图， $R t △ O B C$ 的斜边OB落在x轴上， $∠ O C B = 90 °$ ， $C O = C B = 2 \sqrt{2}$ ，以O为圆心．OB长为半径作弧交OC的延长线于点D ，过点C作 $C E ∥ O B$ ，交圆弧于点E ．若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 的图像经过点E ，则k的值是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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2.
如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴， $\frac{O A}{O B} = \frac{3}{4}$ ． ∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ 的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为 $\frac{2}{7}$ 时，k的值是（　　）

A、2 B、3 C、5 D、7

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3. 如图，Rt△AOB的直角顶点O与坐标原点重合，∠OAB=30°，若A点在反比例函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 的图象上，则过B点的反比例函数的比例系数为（）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、4 D、2

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4. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 、 $B$ 都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，延长 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ，作 $B D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $C D$ 、 $A D$ ，并延长 $A D$ 交 $y$ 轴于点 $E .$ 若 $A B = 2 B C$ ， $△ D C E$ 的面积是 $4.5$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $6$ D、 $9$

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5. 如图，已知：在直角坐标系中，有菱形 $O A B C$ ， $A$ 点的坐标为 $(10 ， 0)$ ，对角线 $O B$ 、 $A C$ 相交于 $D$ 点，双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过 $D$ 点，交 $B C$ 的延长线于 $E$ 点，且 $O B \cdot A C = 160$ ，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为 $y = \frac{40}{x} (x > 0)$ ；② $E$ 点的坐标是 $(5 ， 8)$ ；③ $s i n ∠ C O A = \frac{4}{5}$ ；④ $A C + O B = 12 \sqrt{5}$ ．其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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6. 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线 $A B$ 与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，在线段 $A B$ 左侧作等腰三角形 $A B C$ ，底边 $B C / / x$ 轴，过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴交双曲线于点 $D$ ，连接 $B D$ ，若 $S_{△ B C D} = 16$ ，则 $k$ 的值是（）

A、 $- 4$
B、 $- 6$
C、 $- 8$
D、 $- 16$

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7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = - 2 x + b (b$ 为常数 $)$ 的图象与 $x$ 、 $y$ 轴分别交于点 $A$ 、 $B$ ，直线 $A B$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 分别交于点 $P$ 、 $Q$ 、若 $B Q \cdot Q A = 10$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $2$
B、 $4$
C、 $6$
D、 $8$

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8. 如图，一次函数 $y = - x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作 $A E ⊥ x$ 轴于点 $E$ ，交 $O B$ 于点 $F$ ．设点A的横坐标为 $m$ ．若 $S_{△ O A F} + S_{四边形 E F B C} = 4$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是 $(5 ， 0)$ ，点B是函数 $y = \frac{6}{x} (x > 0)$ 图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数 $y = - \frac{2}{x} (x < 0)$ 的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、①④

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10. $y = \sqrt{3} x$ 与 $y = \frac{k}{x}$ 交于A、B两点， $A C ⊥ A B$ 交y轴于点C， $B C$ 延长线交双曲线于点D，若 $B D = 5$ ，则 $A D$ 为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{3} \sqrt{3}$

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11. 如图，点 $A$ ， $B$ 分别在 $y$ 轴正半轴、 $x$ 轴正半轴上，以 $AB$ 为边构造正方形 $ABCD$ ，点 $C$ ， $D$ 恰好都落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，点 $E$ 在 $BC$ 延长线上， $CE = BC$ ， $EF ⊥ BE$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ，边 $EF$ 交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象于点 $P$ ，记 $△ BEF$ 的面积为 $S$ ，若 $S = \frac{k}{2} + 12$ ，则 $△ CEP$ 的面积是（）

A、 $2 \sqrt{17} + 2$ B、 $2 \sqrt{17} - 2$ C、 $\sqrt{17} + 2$ D、 $\sqrt{17} - 2$

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12. 如图，在 $R t △ O A B$ 中， $O C$ 平分 $∠ B O A$ 交 $A B$ 于点C， $B D$ 平分 $∠ O B A$ 交OA于点D，交 $O C$ 于点E，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ，经过点E，若 $O B = 2$ ， $\frac{C E}{O E} = \frac{1}{2}$ ，则k的值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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二、填空题

13. 如图，在平面直角坐标系中，C，A 分别为x轴、y轴正半轴上的点，以 OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且 $S_{催化剂} O A B C = 8 \sqrt{2},$ 将矩形 OABC翻折，使点 B与原点O 重合，折痕为 MN，点C 的对应点 C'落在第四象限，过 M点的反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象恰好过MN的中点，则点 C^'的坐标为.

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14. 直线y＝－x＋2a（常数 $a > 0$ ）和双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象有且只有一个交点B，一次函数y＝－x＋2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QPA．设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，则 $s i n ∠ A M P$ 的值为．

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15. 如图，在 $R t △ O A B$ 中， $∠ O B A = 90 °$ ， $O A$ 在 $x$ 轴上， $A C$ 平分 $∠ O A B$ ， $O D$ 平分 $∠ A O B$ ， $A C$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ，且 $O C = \sqrt{5}$ ， $C E = \sqrt{2}$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0 ， x > 0)$ 的图象经过点 $E$ ，则 $k$ 的值为．

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16. 如图，点A是函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上的点，点B、C的坐标分别为B(﹣ $\sqrt{2}$ ，﹣ $\sqrt{2}$ )、C( $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ).试利用性质：点“函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上任意一点A都满足 $| A B - A C | = 2 \sqrt{2}$ ”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F.已知当A在函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上运动时，OF的长度总等于.

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴，AO＝AB＝2，将△OAB沿OA所在的直线翻折后，点B落在点C处，且CA∥y轴，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点C，则k的值为．

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18. 如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y= $\frac{k}{x}$ (x>0，k>0)的图象经过点C，E.若点A(3，0)，则k的值是.

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19. 如图，已知点A(2，3)，B(0，2)，点 A 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，作射线 AB，再将射线 AB绕点 A 按逆时针方向旋转 45°，交反比例函数的图象于点 C，则点 C 的坐标为.

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20. 如图，在矩形 $O A B C$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $C$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 在第一象限内，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图像分别与 $O B$ ， $B C$ ， $A B$ 交于 $D$ ， $E$ ， $F$ 三点， $E F$ 与 $O B$ 交于点 $H$ ，连接 $D E$ ， $D F$ ，若 $\frac{B H}{O H} = \frac{3}{5}$ ， $S_{△ D E F} = \frac{3}{2}$ ，则 $k$ 的值为．

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三、解答题

21. 如图，OA=OB，∠AOB=90°，点A(1，4)，B分别在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} ＞ 0 ， x ＞ 0)$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} < 0, x > 0)$ 的图象上.

(1)、求 k₁ ， k₂的值.

(2)、若点 C，D分别在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x} (x ＞ 0)$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x} (x ＞ 0)$ 的图象上，且不与点 A，B 重合，则是否存在点 C，D，使得△COD≌△AOB? 若存在，请直接写出点 C，D的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 如图，▱OABC 的边 OA 在x 轴的正半轴上，∠AOC=60°，OC=12，∠OCB的平分线交OA 于点D，过点D作DE⊥CD，交 AB 于点E，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x⟩ 0)$ 的图象经过点C与点E.

(1)、求k 的值及点D 的坐标.

(2)、求证：AD=AE.

(3)、求点 E的坐标.

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23. 如图，直线 $A B$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ． $O B$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 30 = 0$ 的一个根，且 $t a n ∠ O A B = \frac{3}{4}$ ，点 $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $x$ 轴正半轴上一点， $B E = 2 \sqrt{10}$ ，直线 $O D$ 与 $B E$ 相交于点 $F$ ．

(1)、求点 $A$ 及点 $D$ 的坐标；

(2)、反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $F$ 关于 $y$ 轴的对称点 $F^{'}$ ，求 $k$ 的值；

(3)、在直线 $A B$ 上是否存在点 $P$ ，使 $△ A E P$ 为等腰三角形？若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点B、C都在第一象限内，CA⊥x轴，垂足为点A，反比例函数y₁= $\frac{4}{x}$ 的图象经过点B；反比例函数y₂= $\frac{2}{x}$ 的图象经过点C（ $\sqrt{2}$ ，m）．

(1)、求点B的坐标；

(2)、△ABC的内切圆⊙M与BC，CA，AB分别相切于D，E，F，求圆心M的坐标．

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