湖北省武汉市2024届高三下学期四月调考数学试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数 $z = \frac{2 i}{1 + i} + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 已知集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}, B = {x ∣ x^{2} - 4 x < 0, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${2, 3, 4}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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3. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β, m$ $∥$ $α$ ，则 $m ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β, m \subset α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $m$ $∥$ $α, n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ n, m$ $∥$ $α$ ，则 $n ⊥ α$

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4. $(2 x - 3) (x - 1)^{5}$ 的展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为（）

A、-50 B、50 C、-10 D、10

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5. 记 $a = 3^{0.2}, b = 0 . 3^{- 0.2}, c = l o g_{0.2} 0.3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > b > a$ D、 $b > a > c$

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6. 记等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{8} = 8, S_{12} = 26$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 点 $P$ 是边长为1的正六边形 $A B C D E F$ 边上的动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{11}{4}$ C、3 D、 $\frac{13}{4}$

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8. 已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，其左右顶点分别为 $A, B$ ，过 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线交双曲线 $E$ 于 $M, N$ 两点，设线段 $M F$ 的中点为 $P$ ，若直线 $B P$ 与直线 $A N$ 的交点在 $y$ 轴上，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.

9. 已知函数 $f (x) = s i n 2 x + s i n (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{3})$ 是奇函数 B、函数 $f (x + \frac{π}{12})$ 是偶函数 C、 $f (x)$ 的最大值是 $\sqrt{3}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{7 π}{12})$ 上单调递减

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10. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）

A、图（1）的平均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 B、图（2）的平均数<众数<中位数 C、图（2）的众数 $<$ 中位数<平均数 D、图（3）的平均数 $<$ 中位数 $<$ 众数

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11. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，若 $g (x) - f (3 - x) = 2$ ， $f^{'} (x) = g^{'} (x - 1)$ ，且 $g (- x + 2) = - g (x + 2)$ ，则下列说法中一定正确的是（）

A、 $g (x + 2)$ 为偶函数 B、 $f^{'} (x + 2)$ 为奇函数 C、函数 $f (x)$ 是周期函数 D、 $\sum_{k = 1}^{2024} g (k) = 0$

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三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆上点 $P$ 满足 $| P F_{1} | : | P F_{2} | = 2 : 3$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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13. 已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的体积为 $14 π$ ，其上底面圆 $O_{1}$ 半径为1，下底面圆 $O_{2}$ 半径为4，则该圆台的母线长为.

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14. 设 $A, B, C$ 是一个三角形的三个内角，则 $c o s A (3 s i n B + 4 s i n C)$ 的最小值为.

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四、､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{c o s C}{c} = \frac{c o s A}{3 b - a}$ .

(1)、求 $s i n C$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 5 \sqrt{2}$ ，且 $c = \sqrt{6} (a - b)$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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16. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + x^{2}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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17. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C, A B = B B_{1} = 2, A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ B_{1} B A = 6 0^{∘}$ ，点 $D$ 是棱 $A_{1} B_{1}$ 的中点， $\vec{B C} = 4 \vec{B E}, D E ⊥ B C$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、求直线 $B B_{1}$ 与平面 $D E A_{1}$ 所成角的正弦值.

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18. 已知抛物线 $E : y = x^{2}$ ，过点 $T (1, 2)$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，设抛物线 $E$ 在点 $A, B$ 处的切线分别为 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ ，已知 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交于点 $M, l_{2}$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ .

(1)、证明：点 $P$ 在定直线上；

(2)、若 $△ P M N$ 面积为 $\sqrt{2}$ ，求点 $P$ 的坐标；

(3)、若 $P, M, N, T$ 四点共圆，求点 $P$ 的坐标.

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19. 已知常数 $p \in (0, 1)$ ，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记 $X$ 为首次成功时所需的试验次数， $X$ 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 $X$ 的概率分布为几何分布.

(1)、对于正整数 $k$ ，求 $P (X = k)$ ，并根据 $E (X) = \sum_{k = 1}^{\infty} k P (X = k) = \underset{n \to \infty}{l i m} (\sum_{k = 1}^{n} k P (X = k))$ 求 $E (X)$ ；

(2)、对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 $E_{2}$ ，现提供一种求 $E_{2}$ 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 $E_{2}$ ，即总的试验次数为 $(E_{2} + 1)$ ；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为 $(E_{2} + 2)$ .
（i）求 $E_{2}$ ；
（ii）记首次出现连续 $n$ 次成功时所需的试验次数的期望为 $E_{n}$ ，求 $E_{n}$ .

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