湖南省常德市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合 $A = {x | 2 m x - 3 > 0, m \in R}$ ，其中 $2 \in A$ 且 $1 \notin A$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ D、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$

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2. 已知复数 $z = c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

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3. 平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = \vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $\vec{b}$

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4. 将函数 $f (x) = c o s 2 x$ 的图象向右平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位后得到函数 $g (x)$ 的图象，若对满足 $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | = 2$ 的 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，有 ${| x_{1} - x_{2} |}_{m i n} = \frac{π}{3}$ ，则 $φ =$ ( )

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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5. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的焦距为2，则该椭圆的离心率为( )

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）

A、6寸 B、4寸 C、3寸 D、2寸

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，公差不为0，若 $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列，则 ${a_{n}}$ 的第5项为（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、 $- 7$ 或1 D、 $- 9$ 或1

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8. 如图，已知 $M$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一动点，过 $M$ 作双曲线 $E$ 的切线交 $x$ 轴于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $A D ⊥ O M$ 于点 $D$ ， $| O D | \cdot | O M | = 2 b^{2}$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知 $z_{1}, z_{2}$ 是两个虚数，则下列结论中正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} + z_{2}$ 与 $z_{1} z_{2}$ 均为实数 B、若 $z_{1} + z_{2}$ 与 $z_{1} z_{2}$ 均为实数，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、若 $z_{1}, z_{2}$ 均为纯虚数，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数 D、若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，则 $z_{1}, z_{2}$ 均为纯虚数

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10. 已知非零函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $f (2 + x) = f (2 - x)$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、4是函数 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x + 1) = - f (- x - 1)$ D、 $y = f (x)$ 在区间 $[0, 2024]$ 上至少有1012个零点

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11. 已知 $6 l n m = m + a$ ， $6 n = e^{n} + a$ ，其中 $m \neq e^{n}$ ，则 $m + e^{n}$ 的取值可以是（）

A、e B、 $e^{2}$ C、 $3 e^{2}$ D、 $4 e^{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. $(x^{2} + 1) {(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中常数项为．

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13. 在公差为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 3$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $\frac{3}{2} a_{8}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为.

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14. 已知圆 $C : m x^{2} + (2 m - 1) y^{2} - 2 a x - a - 2 = 0$ ，若对于任意的 $a \in R$ ，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则 $m + n =$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $\frac{1 - s i n A}{c o s A} = \frac{s i n B}{c o s B}$ ．

(1)、求证： $A + 2 B = \frac{π}{2}$ ；

(2)、求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值．

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16. 如图1，菱形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{5}$ ， $B D = 2$ ，将其沿 $B D$ 折叠形成如图2所示的三棱锥 $A - B C D$ ．
图1 图2

(1)、证明：三棱锥 $A - B C D$ 中， $B D ⊥ A C$ ；

(2)、当点 $A$ 在平面 $B C D$ 的投影为 $△ B C D$ 的重心时，求直线 $A C$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值．

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17. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，椭圆 $C$ 上的点到 $F$ 的最大距离是短半轴长的 $\sqrt{3}$ 倍，且椭圆过点 $P (1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $l$ 的倾斜角为锐角．若点 $P (1, \frac{3}{2})$ 到直线 $l$ 与的距离为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $P M$ 与直线 $P N$ 的斜率之和．

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18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且不同对阵的结果相互独立．

(1)、若 $p = 0.6$ ，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；

(2)、除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．

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19. 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔 $\cdot$ 罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数 $f (x)$ 满足在闭区间 $[a, b]$ 连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f (a) = f (b)$ ，那么在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $m$ ，使得 $f^{'} (m) = 0$ ．

(1)、运用罗尔定理证明：若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 连续，在区间 $(a, b)$ 上可导，则存在 $x_{0} \in (a, b)$ ，使得 $f^{'} (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ．

(2)、已知函数 $f (x) = x l n x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - b x + 1$ ，若对于区间 $(1, 2)$ 内任意两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | > | g (x_{1}) + g (x_{2}) |$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围．

(3)、证明：当 $p > 1$ ， $n \geq 2$ 时，有 $\frac{1}{n^{p}} < \frac{1}{p - 1} [\frac{1}{{(n - 1)}^{p - 1}} - \frac{1}{n^{p - 1}}]$ ．

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