广东省茂名市2024届高三下学期4月高考模拟数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若集合 $A = {x | 2 m x - 3 > 0, m \in R}$ ，其中 $2 \in A$ 且 $1 \notin A$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$ B、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ D、 $[\frac{3}{4}, \frac{3}{2}]$

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2. 若 $z \cdot (2 + i) = 3 - i^{2027}$ ，则z的虚部为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5}$

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3. 已知直角ABC斜边BC的中点为O ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{A B} |$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{C B}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{C B}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{C B}$ D、 $- \frac{3}{4} \vec{C B}$

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4. 直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，则“ $α = β$ ”是“ $t a n α = t a n β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E ， F ， G ， H分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、E ， F ， G ， H四点共面 B、 $E F ∥ G H$ C、EG ， FH ， $A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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6. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F ， C的准线与x轴的交点为M ，点P是C上一点，且点P在第一象限，设 $∠ P M F = α$ ， $∠ P F M = β$ ，则（）

A、 $t a n α = s i n β$ B、 $t a n α = - c o s β$ C、 $t a n β = - s i n α$ D、 $t a n β = - c o s α$

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7. 已知各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{6}$ _， $3 a_{4}$ ， $- a_{5}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{4}}{S_{2}} =$ ( )

A、3 B、9 C、10 D、13

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8. 已知m ， $n \in R$ ， $m^{2} + n^{2} \neq 0$ ，记直线 $n x + m y - n = 0$ 与直线 $m x - n y - n = 0$ 的交点为P ，点Q是圆C： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上的一点，若PQ与C相切，则 $| P Q |$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{2}, \sqrt{14}]$ B、 $[2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{7}]$ C、 $[2, \sqrt{14}]$ D、 $[2, 2 \sqrt{7}]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知i为虚数单位，下列说法正确的是( )

A、若复数 $z = \frac{1 + i}{1 - i}$ ，则 $z^{30} = - 1$ B、若 $| z_{1} | > | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$ C、若 $z_{2} \neq 0$ ，则 $| \frac{z_{1}}{z_{2}} | = \frac{| z_{1} |}{| z_{2} |}$ D、复数z在复平面内对应的点为Z，若 $| z + i | + | z - i | = 2$ ，则点Z的轨迹是一个椭圆

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10. 质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2，5，7，70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件A ， “数字是5的倍数”为事件B ， “数字是7的倍数”为事件C ，则下列选项不正确的是（）

A、事件A、B、C两两互斥 B、事件 $A ∪ B$ 与事件 $B ∩ C$ 对立 C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、事件A、B、C两两独立

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11. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且 $f (x + y) \cdot f (x - y) = f^{2} (x) - f^{2} (y)$ ， $f (1) = 2$ ， $f (x + 1)$ 为偶函数，则( )

A、 $f (3) = 2$ B、 $f (x)$ 为奇函数 C、 $f (2) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. $(x^{2} + 1) {(2 x - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中常数项为．

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13. 在公差为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = 3$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ ， $\frac{3}{2} a_{8}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的前10项和为.

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14. 已知抛物线C： $x^{2} = 4 y$ ，定点 $T (1, 0)$ ， M为直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 上一点，过M作抛物线C的两条切线MA ， MB ， A ， B是切点，则△TAB面积的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知函数 $f (x) = l n^{2} x + (e + a) x - 1$ ， $g (x) = (2 a + e) x + 1$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $h (x) = f (x) - g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，求a的取值范围.

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16. 如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，E为以BC为直径的半圆弧上一点，平面 $A B C D ⊥$ 平面BCE ， O为BC的中点，M为CE的中点， $B E = A B = A D = D C = 2$ ， $B C = 4$ ．

(1)、求证： $D M ∥$ 平面ABE；

(2)、求平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值．

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17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，记 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $S_{5} = a_{3} + 20$ ， $S_{15} = a_{2} a_{3} a_{8}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $d > 0, b_{n} = \frac{4 S_{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < n + \frac{1}{2}$ .

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18. 2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮．某地游乐园一迷宫票价为8元，游客从A处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，硬币正面朝上向北走，否则向东走（每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果）直到从X（ $X = 1$ ， 2，3，4，5，6，7）号出口走出，且从X号出口走出，返现金X元．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} ≥ k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)、随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表：

男性
女性
总计
喜欢走迷宫
12
18
30
不喜欢走迷宫
13
7
20
总计
25
25
50
判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关？

(2)、走迷宫“路过路口B”记为事件B ，从“X号走出”记为事件 $A_{X}$ ，求 $P (A_{5} | B)$ 和 $P (B | A_{4})$ 值；

(3)、设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？

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19. 曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在点M处的曲率 $K = \frac{| y'' |}{{(1 + y'^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ （其中y＇表示函数 $y = f (x)$ 在点M处的导数，y＇＇表示导函数 $f' (x)$ 在点M处的导数）．在曲线 $y = f (x)$ 上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的一侧上取一点D ，使得 $| M D | = \frac{1}{K} = ρ$ ，则称以D为圆心，以 $ρ$ 为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲线在此处的密切圆．

(1)、求出曲线 $C_{1}$ ： $y^{2} - x^{2} = 2$ 在点 $M (0, \sqrt{2})$ 处的曲率，并在曲线 $C_{2}$ ： $x y = 1$ 的图象上找一个点E ，使曲线 $C_{2}$ 在点E处的曲率与曲线 $C_{1}$ 在点 $M (0, \sqrt{2})$ 处的曲率相同；

(2)、若要在曲线 $C_{1}$ ： $y^{2} - x^{2} = 2$ 上支凹侧放置圆 $C_{3}$ 使其能在 $M (0, \sqrt{2})$ 处与曲线 $C_{1}$ 相切且半径最大，求圆 $C_{3}$ 的方程；

(3)、在（2）的条件下，在圆 $C_{3}$ 上任取一点P ，曲线 $C_{1}$ 上任取关于原点对称的两点A ， B ，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最大值．

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$P (K^{2} ≥ k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	男性	女性	总计
喜欢走迷宫	12	18	30
不喜欢走迷宫	13	7	20
总计	25	25	50