新疆维吾尔自治区2024年高考数学第二次适应性试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数 $z$ 满足 $z + \bar{z} = 4$ ，且 $z - \bar{z} = 2 i$ ，则 $| z | =$ ( )

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 已知集合 $P = {x | y = \sqrt{x + 1}}$ ， $Q = {y | y = x^{2}}$ ，则下列选项中正确的是( )

A、 $P \cup Q = R$ B、 $Q \subseteq P$ C、 $P \cap Q = ⌀$ D、 $P \subseteq Q$

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3. 若函数 $f (x) = \frac{a x - 1}{x - 1}$ 的图象关于点 $(1,2)$ 对称，则 $a =$ ( )

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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4. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l$ ： $y = k x + m$ ，若当 $k$ 的值发生变化时，直线被圆 $C$ 所截的弦长的最小值为 $2$ ，则 $m$ 的取值为( )

A、 $\pm 2$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm \sqrt{3}$ D、 $\pm 3$

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5. 设 ${a_{n}}$ 是等差数列，下列结论中正确的是( )

A、若 $a_{1} + a_{2} > 0$ ，则 $a_{2} + a_{3} > 0$ B、若 $a_{1} + a_{3} < 0$ ，则 $a_{1} + a_{2} < 0$ C、若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，则 $a_{2} > \sqrt{a_{1} a_{3}}$ D、若 $a_{1} < 0$ ，则 $(a_{2} - a_{1}) (a_{4} - a_{1}) < 0$

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6. 过点 $(1,4)$ 且与曲线 $f (x) = x^{3} + x + 2$ 相切的直线方程为( )

A、 $4 x - y = 0$ B、 $7 x - 4 y + 9 = 0$ C、 $4 x - y = 0$ 或 $7 x - 4 y + 9 = 0$ D、 $4 x - y = 0$ 或 $4 x - 7 y + 24 = 0$

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7. 设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $t a n α + t a n β = \frac{1}{c o s β}$ ，则( )

A、 $3 α - β = \frac{π}{2}$ B、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ C、 $3 α + β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $M$ 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， $I$ ， $G$ 分别为 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心和重心，则 $\vec{I G} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} =$ ( )

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $3$

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二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 下列结论正确的是( )

A、若样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{6}$ 的方差为 $2$ ，则数据 $2 x_{1} - 1$ ， $2 x_{2} - 1$ ， $\dots$ ， $2 x_{6} - 1$ 的方差为 $8$ B、若随机变量 $ξ ～ N (1, σ^{2})$ ， $P (ξ \leq - 2) = 0.21$ ，则 $p (ξ \geq 4) = 0.79$ C、已知经验回归方程为 $\overset{\hat{}}{y} = \overset{\hat{}}{b} x + 1.8$ ，且 $\bar{x} = 2$ ， $\bar{y} = 20$ ，则 $\overset{\hat{}}{b} = 9.1$ D、根据分类变量 $X$ 与 $Y$ 成对样本数据，计算得到 $χ^{2} = 9.632$ ，依据小概率值 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验 $(x_{0.001} = 10.828)$ ，可推断“ $X$ 与 $Y$ 有关联”，此推断犯错误的概率不大于 $0.001$

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10. $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，下列四个命题中正确的命题是( )

A、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ C、如果 $α / / β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m / / β$ D、如果 $m / / n$ ， $α / / β$ ，那么 $m$ 与 $α$ 所成的角和 $n$ 与 $β$ 所成的角相等

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (x + 2) + f (x) = 0$ ，若 $x \in [0,2]$ 时， $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ ，函数 $g (x) = - g (4 - x) .$ 若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 恰有 $2024$ 个交点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{2024}, y_{2024})$ ，则下列说法正确的是( )

A、 $f (2024) = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $\sum_{i = 1}^{2024} (x_{i} + y_{i}) = 4048$ D、当实数 $k \in (- \frac{\sqrt{6}}{6}, - \frac{\sqrt{5}}{10}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{10}, \frac{\sqrt{6}}{6})$ 时，关于 $x$ 的方程 $| f (x) | + f (| x |) = k x$ 恰有四个不同的实数根

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知向量 $\vec{a} = (1,3)$ ， $\vec{b} = (3,4)$ ，若 $(m \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $m =$ ．

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13. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中 $2$ 名男生和 $4$ 名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与 $6$ 名同学站成一排合影留念，则 $2$ 名男生相邻且农场主站在正中间的排列数为 $. ($ 用数字作答 $)$

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14. 我国古代数学著作 $《$ 九章算术 $》$ 中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体 $.$ 如图所示，四边形 $A B C D$ ， $A B F E$ ， $C D E F$ 均为等腰梯形， $A B / / C D / / E F$ ， $A B = 6$ ， $C D = 8$ ， $E F = 10$ ， $E F$ 到平面 $A B C D$ 的距离为 $5$ ， $C D$ 与 $A B$ 间的距离为 $10$ ，则这个羡除的体积 $V =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 如图， $△ A B C$ 中，点 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且满足 $\frac{A D}{A B} = \frac{C D}{B C}$ .

(1)、证明： $∠ B A C + ∠ D A C = π$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{7}$ ，求 $A D$ 的长度．

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16. 某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话 $.$ 聊天机器人棋型的开发主要采用 $R L H F ($ 人类反馈强化学习 $)$ 技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为 $90 %$ ，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为 $50 %$ ．

(1)、在某次测试中输入了 $7$ 个问题，聊天机器人棋型的回答有 $5$ 个被采纳，现从这 $7$ 个问题中抽取 $4$ 个，以 $ξ$ 表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望；

(2)、设输入的问题出现语法错误的概率为 $p$ ，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为 $80 %$ ，求 $p$ 的值．

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17. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ， $C$ 上任意一点到 $F$ 的距离的最大值和最小值之积为 $1$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $R (1, \frac{1}{3})$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，若动点 $P$ 满足 $\vec{P M} = λ \vec{M R}$ ， $\vec{P N} = - λ \vec{N R}$ ，动点 $Q$ 在椭圆 $C$ 上，求 $| P Q |$ 的最小值．

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18. 在圆柱 $O O_{1}$ 中， $A B$ 是圆 $O$ 的一条直径， $C D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的母线，其中点 $C$ 与 $A$ ， $B$ 不重合， $M$ ， $N$ 是线段 $B D$ 的两个三等分点， $B M = M N = N D$ ， $A B = 2$ ， $C D = 3$ ．

(1)、若平面 $C O M$ 和平面 $C A N$ 的交线为 $l$ ，证明： $l / /$ 平面 $A B D$ ；

(2)、设平面 $C O M$ 、平面 $C A N$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角分别为 $α$ 和 $β$ ，平面 $A B D$ 和底面圆 $O$ 所成的锐二面角为 $γ$ ，若 $α = β$ ，求 $t a n γ$ 的值．

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19. 已知函数 $f (x) = l n x - a (x - 1) e^{x}$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值点个数，并说明理由；

(2)、若 $0 < a < \frac{1}{e}$ ，设 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极值点， $x_{1}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $x_{1} > 1$ ，求证： $x_{0} + 2 l n x_{0} > x_{1}$ ．

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