重庆市乌江新高考协作体2024届高三4月高考模拟监测（一）数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 $M = {0, 1, 2}, N = {x | x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $M \cup N =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x < 3}$ D、 ${x ∣ 0 < x < 3}$

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2. 若 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{1 + i}{i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} + a_{2} = 12$ 且 $a_{1}, a_{2} + 6, a_{3}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{10}}{S_{5}}$ 为（）

A、245 B、244 C、242 D、241

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4. 洪崖洞是具有重庆特色的吊脚楼式建筑，它的屋顶可近似看作一个多面体，右图是该屋顶的结构示意图，其中四边形 $A B F E$ 和四边形 $D C F E$ 是两个全等的等腰梯形， $A B / / C D / / E F, △ E A D$ 和 $△ F B C$ 是两个全等的正三角形．已知该多面体的棱 $B F$ 与平面 $A B C D$ 成的角 $45 °$ ， $A B = 20, B C = 8$ ，则该屋顶的侧面积为（）

A、80 B、 $80 \sqrt{3}$ C、160 D、 $160 \sqrt{3}$

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5. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率 $e = ω$ （其中 $ω = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， (a > b > 0)$ ，若以原点 $O$ 为圆心，短轴长为直径作 $⊙ O, P$ 为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过 $P$ 作 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，直线 $A B$ 与 $x, y$ 轴分别交于 $M, N$ 两点，则 $\frac{b^{2}}{| O M |^{2}} + \frac{a^{2}}{| O N |^{2}} =$ （）

A、 $\frac{1}{ω}$ B、 $ω$ C、 $- ω$ D、 $- \frac{1}{ω}$

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6. 在不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0, \\ x - y - 2 \leq 0, \\ y \leq 2, \end{array}$ 所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率是（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $4 - \frac{π}{2}$ C、 $1 - \frac{π}{8}$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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7. 已知 $s i n 2 θ + c o s θ$ 与 $c o s 2 θ + s i n θ$ 都是非零有理数，则在 $s i n θ$ ， $c o s θ$ ， $t a n θ$ 中，一定是有理数的有（）个.

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 定义 $m a x {a, b} = {\begin{array}{l} a, a \geq b \\ b, a < b \end{array}, m i n {a, b} = {\begin{array}{l} b, a \geq b \\ a, a < b \end{array}$ ，对于任意实数 $x > 0, y > 0$ ，则 $m i n {m a x {2 x, 3 y, \frac{1}{4 x^{2}} + \frac{1}{9 y^{2}}}}$ 的值是（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ B、 $\frac{1}{4} < 2^{a - b} < 4$ C、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b \geq 0$ D、 $a^{2} - b > 0$

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10. 已知 $f (x) = x^{2} + x l n x + 2$ ， $g (x) = f (x) - e x$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{4}, 1]$ 上的最大值为3 B、 $\forall x > 0$ ， $f (x) > 2$ C、函数 $g (x)$ 在 $(3, 4)$ 上没有零点 D、函数 $g (x)$ 的极值点有2个

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11. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $M$ ， $N$ ， $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $P$ ， $Q$ 两点（不同于右顶点），且与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 为定值 B、 $| P A | = | B Q |$ C、点 $P$ 到两条渐近线的距离之和的最小值为 $\sqrt{2}$ D、不存在直线 $l$ 使 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q} = 0$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为2，点 $D$ 满足 $\vec{C D} = m \vec{C A} + n \vec{C B}$ ，且 $m > 0$ ， $n > 0$ ， $2 m + n = 1$ ，则 $| \vec{C D} |$ 的取值范围是.

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13. 从教学楼一楼到二楼共有11级台阶（从下往上依次为第1级，第2级， $⋯$ ，第11级），学生甲一步能上1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是．

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14. 若函数 $f (x) = x e^{x} - (m - 1) e^{2 x}$ 存在唯一极值点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 如图，在圆锥DO中，D为圆锥顶点，AB为圆锥底面的直径，O为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，四边形OAED为矩形．

(1)、求证：平面BCD⊥平面ACE；

(2)、若 $A E = \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，求平面ADE和平面CDE夹角的余弦值

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16. 已知幂函数 $f (x) = x^{m^{2} - 2 m - 3} (m \in Z)$ 为奇函数，且在区间 $(0, + ∞)$ 上是严格减函数.

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的表达式；

(2)、对任意实数 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，不等式 $f (x) \leq t + 4^{x}$ 恒成立，求实数t的取值范围.

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17. 三峡之巅景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．

(1)、若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．

(2)、记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（ $m > 2$ 且 $m \in N^{*}$ ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A ，否则该组标为B ，记询问的某组被标为B的概率为p ．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用 $g (p)$ 表示恰有3组被标为B的概率，试求 $g (p)$ 的最大值及此时m的值．

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18. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B, C (a, \sqrt{2} b), D (- a, \sqrt{2} b)$ ，直线 $A C$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $A C$ 与椭圆 $E$ 交于另一点 $G$ ，且点 $G$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{4}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程．

(2)、若点 $P$ 是 $E$ 上与点 $A, B$ 不重合的任意一点，直线 $P C, P D$ 与 $x$ 轴分别交于点 $M, N$ ．
①设直线 $P M, P N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $| \frac{k_{2} - k_{1}}{k_{1} k_{2}} |$ 的取值范围．
②判断 $| A M |^{2} + | B N |^{2}$ 是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．

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19. 重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线 $C : y = f (x)$ 上的曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ ，其弧长为 $Δ s$ ，当动点从A沿曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ 运动到B点时，A点的切线 $l_{A}$ 也随着转动到B点的切线 $l_{B}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $Δ θ$ （它等于 $l_{B}$ 的倾斜角与 $l_{A}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\bar{K} = | \frac{Δ θ}{Δ s} |$ 为曲线段 $\overset{⏜}{A B}$ 的平均曲率；显然当B越接近A ，即 $Δ s$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x, f (x))$ 处的曲率计算公式为 $K = \underset{Δ x \to 0}{l i m} | \frac{Δ θ}{Δ s} | = \frac{| t^{'} (x) |}{{(1 + {[f^{'} (x)]}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $t (x) = f^{'} (x)$ ．

(1)、求单位圆上圆心角为 $6 0^{∘}$ 的圆弧的平均曲率；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，求曲线 $y = f (x)$ 的曲率的最大值；

(3)、已知函数 $g (x) = 6 x^{2} l n x - 2 a x^{3} - 9 x^{2}, h (x) = 2 x e^{x} - 4 e^{x} + a x^{2}, a \in (0, \frac{1}{e})$ ，若 $g (x), h (x)$ 曲率为0时x的最小值分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，求证： $\frac{x_{1}^{2}}{e^{x_{2}}} > e^{\frac{8}{3}}$ ．

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