四川省宜宾市2024届高三下学期高考适应性考试（三模）理科数学试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．

1. 已知集合 $A = {1, 4, 2 x}$ ， $B = {1, x^{2}}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $x =$ （）

A、0 B、0或-2 C、0或2 D、2或-2

查看试题解析
2. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）

A、a的值为0.005 B、估计这组数据的众数为75分 C、估计成绩低于60分的有250人 D、估计这组数据的中位数为 $\frac{235}{3}$ 分

查看试题解析
3. 下列各式中，正确的是（）

A、 $\frac{t a n 22.5 °}{1 - t a n^{2} 22.5 °} = 1$ B、 $\sqrt{1 - s i n 30 °} = \frac{1}{2}$ C、 $c o s 15 ° \cdot s i n 15 ° = \frac{1}{4}$ D、 $s i n^{2} 75 ° - c o s^{2} 75 ° = \frac{1}{2}$

查看试题解析
4. 已知虚数z满足 $z^{3} - 1 = 0$ ，且 $\bar{z}$ 是z的共轭复数，则下列结论错误的是（）

A、 $z^{2} + z + 1 = 0$ B、 $| z | = 1$ C、 $z^{2} = \bar{z}$ D、 $z + z^{2} + z^{3} + ⋯ + z^{2024} = 0$

查看试题解析
5. 若曲线 $y = e^{x} + a$ 在 $x = 0$ 处的切线也是曲线 $y = l n x$ 的切线，则 $a =$ （）

A、-2 B、1 C、-1 D、e

查看试题解析
6. 在 ${(3 x^{2} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，含x项的系数是（）

A、―180 B、―90 C、90 D、180

查看试题解析
7. 若 $c o s (α - \frac{π}{3}) + c o s α = - 1$ ，则 $c o s (α - \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
8. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为4，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
9. 某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球、足球、排球、网球、羽毛球、乒乓球，甲、乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲、乙选修的课中至少有1门相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

查看试题解析
10. 已知抛物线C： $y^{2} = 6 x$ ，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切于点A ， B ，则 $△ P A B$ 面积的最小值是（）

A、6 B、9 C、12 D、18

查看试题解析
11. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数 $f (x)$ ，对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 有 $f [f (x) - l n x] = 1$ 恒成立，若方程 $f (x) \cdot f^{'} (x) = m$ 有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(- \infty, 1]$

查看试题解析
12. 已知E ， F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD ， BC的中点.过EF的平面 $α$ 与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形 $τ$ ，则正确的选项是（）
①截面多边形 $τ$ 可能是三角形或四边形．
②截面多边形 $τ$ 周长的取值范围是 $[4, 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}]$ ．
③截面多边形 $τ$ 面积的取值范围是 $[1, \sqrt{2}]$ ．
④当截面多边形 $τ$ 是一个面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 的四边形时，四边形的对角线互相垂直．

A、①③ B、②④ C、①②③ D、①③④

查看试题解析

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值为．

查看试题解析
14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 前6项的和为．

查看试题解析
15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为 $(0, \sqrt{2} b)$ ．若 $| P F_{2} | - | P Q |$ 有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是．

查看试题解析
16. 已知点O ， A ， B在同一平面内且A为定点， $\vec{O A} \cdot \vec{A B} = - 2$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{A B} = 2$ ， C ， D分别是点B轨迹上的点且 $B C = 2$ ，则 $\vec{B D} \cdot \vec{C D}$ 的最大值与最小值之和是．

查看试题解析

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．

17. 某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：

女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} > k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

(1)、根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？

(2)、用样本估计总体，从该地年龄在35―50岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小时的人数为X ，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ．

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n - 1$ ，（ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + n}$ 是等比数列，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} (a_{n} + n)}$ ，数列 ${b_{n} b_{n + 1}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} < m^{2} - m - 1$ 对于任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形， $A D = P D = 2$ ， $∠ P D C = 120 °$ ， $P A = 2 \sqrt{2}$ ，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．

(1)、若 $A F = \frac{1}{2}$ ，求证： $C D ⊥ E F$ ；

(2)、若F是AB上靠近点B的三等分点，求平面DEF与平面DPA所成的锐二面角的余弦值．

查看试题解析
20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P是直线l： $y = - \frac{8}{9} x$ 上不同于原点O的一个动点，斜率为 $k_{1}$ 的直线 $P F_{1}$ 与椭圆E交于A ， B两点，斜率为 $k_{2}$ 的直线 $P F_{2}$ 与椭圆E交于C ， D两点．

(1)、求 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 的值；

(2)、是否存在点P ，满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（ $k_{O A}$ ， $k_{O B}$ ， $k_{O C}$ ， $k_{O D}$ 分别为直线OA ， OB ， OC ， OD的斜率）

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - x l n x$ ， $g (x) = a (x + l n x) + a^{2} - \frac{a}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 过原点的切线方程；

(2)、求证：存在 $a \in (0, \frac{1}{2})$ ，使得 $f (x) \geq g (x)$ 在区间 $(1, + \infty)$ 内恒成立，且 $f (x) = g (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 内有解．

查看试题解析

四、（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. ［选修4-4：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系中，过点 $A (- 2, 4)$ 的直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ = a c o s θ$ （ $a > 0$ ）．直线l与曲线C相交于M ， N两点．

(1)、求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)、若 $| A M |$ ， $| M N |$ ， $| A N |$ 成等比数列，求实数a的值．

查看试题解析
23. ［选修4-5：不等式选讲］
已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | 2 x - 1 |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x) \geq | 2 x - a |$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析

	女性	男性
每周运动超过2小时	60	80
每周运动不超过2小时	40	20

$P (K^{2} > k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828