四川省宜宾市2024届高三下学期高考适应性考试（三模）文科数学试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．

1. 已知集合 $A = {1, 2, 4}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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2. 已知复数z满足 $z^{2} + z + 1 = 0$ 且 $\bar{z}$ 是z的共轭复数，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、―1 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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3. 已知一组数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ， $x_{5}$ 的平均数是2，方差是3，则对于以下数据： $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $2 x_{3} + 1$ ， $2 x_{4} + 1$ ， $2 x_{5} + 1$ 下列选项正确的是（）

A、平均数是4，方差是6 B、平均数是4，方差是7 C、平均数是5，方差是7 D、平均数是5，方差是12

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4. 若曲线 $y = e^{x} + a$ 的一条切线方程是 $y = x - 1$ ，则 $a =$ （）

A、―2 B、1 C、―1 D、e

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5. 明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n＝（）

A、72 B、75 C、78 D、80

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6. 下列各式中，正确的是（）

A、 $c o s 15 ° \cdot s i n 15 ° = \frac{1}{4}$ B、 $\sqrt{1 - s i n 30 °} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{t a n 22.5 °}{1 - t a n^{2} 22.5 °} = 1$ D、 $s i n^{2} 75 ° - c o s^{2} 75 ° = \frac{1}{2}$

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7. 某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：
x（万元）
3
4
5
6
7
y（万元）
45
50
60
65
70
由统计数据知y与x满足线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = 6.5$ ，当宣传费用 $x = 10$ 时，销售额y的估计值为（）

A、89.5 B、90.5 C、92.5 D、94.5

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8. 已知函数 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递减且对任意 $x \in R$ 满足 $f (1 + x) = f (3 - x)$ ，则不等式 $f (2 x - 3) > f (5)$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, 1) ∪ (4, + \infty)$ B、 $(- \infty, 4)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(1, 4)$

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9. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = B B_{1}$ ， $A B ⊥ B C$ ，点P在四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 内（含边界）运动，当 $C_{1} P = \sqrt{2} C C_{1}$ 时，点P的轨迹长度为 $π$ ，则该三棱柱的表面积为（）

A、4 B、 $10 + 4 \sqrt{2}$ C、 $12 + 4 \sqrt{2}$ D、 $16 + 4 \sqrt{2}$

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10. 已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ ，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（）

A、一条抛物线 B、一个圆 C、一条直线 D、一段线段

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11. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数 $f (x)$ ，对任意的 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $f [f (x) - l n x] = 1$ ，若方程 $f (x) \cdot f^{'} (x) = m$ 有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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12. 已知E ， F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD ， BC的中点.过EF的平面 $α$ 与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形 $τ$ ，则下列说法正确的是（）

A、截面多边形 $τ$ 不可能是平行四边形 B、截面多边形 $τ$ 的周长是定值 C、截面多边形 $τ$ 的周长的最小值是 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ D、截面多边形 $τ$ 的面积的取值范围是 $[1, \sqrt{2}]$

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二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13. 已知 $x > 0$ ，则 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值为.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且满足 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{6}$ 成等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 前6项的和．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为 $(0, \sqrt{2} b)$ ．若 $| P F_{2} | - | P Q |$ 有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是．

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16. 已知点O ， A ， B ， C均在同一平面内， $\vec{O A} \cdot \vec{A B} = - 2$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{A B} = 2$ ， $A C = \sqrt{6}$ ，当 $∠ A C B$ 取最大值时，BC＝．

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三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．

17. 某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：

女性
男性
每周运动超过2小时
60
80
每周运动不超过2小时
40
20
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} > k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

(1)、根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？

(2)、在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n - 1$ ，（ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、证明：数列 ${a_{n} + n}$ 是等比数列，并求出数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{l o g_{2} (a_{n} + n)}$ ，数列 ${b_{n} b_{n + 1}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} < m^{2} - m - 1$ 对于任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是正方形， $A D = P D = 2$ ， $∠ P D C = 120 °$ ， $P A = 2 \sqrt{2}$ ，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且 $A F = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求证： $C D ⊥ E F$ ；

(2)、求三棱锥 $P - A B D$ 的体积．

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20. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + a^{2}$ ．

(1)、当 $a = \sqrt{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 过原点的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有三个零点，求a的取值范围．

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过焦点 $F_{1}$ 斜率为 $k_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与椭圆E交于A ， B两点，过焦点 $F_{2}$ 斜率为 $k_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 与椭圆E交于C ， D两点，且 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} = - \frac{9}{4}$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点N的轨迹M的方程；

(2)、若直线OA ， OB ， OC ， OD的斜率分别为 $k_{O A}$ ， $k_{O B}$ ， $k_{O C}$ ， $k_{O D}$ ，问在（1）的轨迹M上是否存在点P ，满足 $k_{O A} + k_{O B} + k_{O C} + k_{O D} = 0$ ，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．

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四、（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. ［选修4-4：坐标系与参数方程］
在平面直角坐标系中，过点 $A (- 2, 4)$ 的直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} t, \\ y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{array}$ （t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ s i n^{2} θ = a c o s θ$ （ $a > 0$ ）．直线l与曲线C相交于M ， N两点．

(1)、求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)、若 $| A M |$ ， $| M N |$ ， $| A N |$ 成等比数列，求实数a的值．

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23. ［选修4-5：不等式选讲］
已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | 2 x - 1 |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x) \geq | 2 x - a |$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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	女性	男性
每周运动超过2小时	60	80
每周运动不超过2小时	40	20

$P (K^{2} > k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

x（万元）	3	4	5	6	7
y（万元）	45	50	60	65	70