四川省成都市成华区2023-2024学年高三“三诊”模拟数学（文）试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | 3^{x - 1} > 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[- 1, 3]$ C、 $(1, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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2. 已知一样本数据（如茎叶图所示）的中位数为12，若 $x$ ， $y$ 均小于4，则 $x + y$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴非负半轴重合， $c o s α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $P (m, 2)$ 为其终边上一点，则 $m =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 1$ D、1

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4. 已知 $a = l o g_{5} 2$ ， $b = l o g_{2} a$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $c > a > b$ C、 $a > b > c$ D、 $b > c > a$

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5. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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6. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、55 B、49 C、43 D、37

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7. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E ， F ， G ， H分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法错误的是（）

A、E ， F ， G ， H四点共面 B、 $E F ∥ G H$ C、EG ， FH ， $A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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8. 若 $a < x < 3$ 是不等式 $l o g_{\frac{1}{2}} x > - 1$ 成立的一个必要不充分条件，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(2, 3)$

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9. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ， $∠ B A C = 120 °$ ，且 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、2

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ （ $A, ω, φ$ 为常数， $ω > 0$ ， $A > 0$ ）的部分图像如图所示，若将 $f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 的解析式可以为（）

A、 $g (x) = 2 \sqrt{2} s i n (3 x + \frac{π}{4})$ B、 $g (x) = 2 \sqrt{2} c o s (3 x + \frac{π}{4})$ C、 $g (x) = 2 \sqrt{2} s i n (3 x - \frac{π}{4})$ D、 $g (x) = - 2 \sqrt{2} c o s (3 x - \frac{π}{4})$

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，点 $M (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 是双曲线 $E$ 上的点，点 $C$ 是 $△ M F_{1} F_{2}$ 内切圆的圆心，若 $S_{△ C M F_{1}} = S_{△ C M F_{2}} + \frac{1}{2} S_{△ C F_{1} F_{2}}$ ，则双曲线 $E$ 的渐近线为（）

A、 $y \pm \sqrt{3} x = 0$ B、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ C、 $2 x \pm \sqrt{3} y = 0$ D、 $2 y \pm \sqrt{3} x = 0$

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12. 若 $x \in [0, + \infty)$ ， $x^{2} + a x + 1 \leq e^{x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $e$ B、2 C、 $e - 1$ D、 $e - 2$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该“鳖臑”的体积为.

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14. 若复数 $z$ 满足 $| z - 2 | = 1$ ，则 $| z |$ 的最小值为.

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15. 设抛物线 $y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ， $P$ 是抛物线上位于第一象限内的一点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，若直线 $Q F$ 的倾斜角为120°，则 $| P F | =$ .

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16. 已知三棱锥 $S - A B C$ 的顶点都在球 $O$ 的表面上，若球 $O$ 的表面积为 $36 π$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $A C = 2 \sqrt{5}$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则当三棱锥 $S - A B C$ 的体积最大时， $B S =$ .

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三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答，（一）必考题：共60分.

17. 某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是： $[5.0, 5.5)$ ， $[5.5, 6.0)$ ， $[6.0, 6.5)$ ， $[6.5, 7.0)$ ， $[7.0, 7.5)$ ， $[7.5, 8.0)$ （单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏幕需求尺寸在 $[5.5, 6.0)$ 的一组人数为50人.

(1)、求 $a$ 和 $b$ 的值；

(2)、用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为 $[5.0, 5.5)$ 和 $[7.0, 7.5)$ 两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表发言，则这2人来自同一分组的概率是多少？

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，且满足 $a_{n} = \frac{T_{n}}{3 T_{n} - 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求证：数列 ${T_{n} - \frac{1}{2}}$ 为等比数列；

(2)、求数列 ${T_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ .

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19. 如图，在三棱台 $A B C - D E F$ 中， $H$ 在 $A C$ 边上，平面 $A C F D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A C D = 60 °$ ， $C H = 2$ ， $C D = 4$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $B H ⊥ B C$ .

(1)、证明： $E F ⊥ B D$ ；

(2)、若 $A C = 2 D F$ 且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，求三棱锥 $D - A B H$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的长轴为双曲线 $\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的实轴，且椭圆 $C$ 过点 $P (2, 1)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、点 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 上异于点 $P$ 的两个不同的点，直线 $P A$ 与 $P B$ 的斜率均存在，分别记为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{2}$ ，证明：直线 $A B$ 的经过定点，并求出定点坐标.

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21. 已知函数 $f (x) = l n x - a x + 1$ ，其中实数 $a \in R$ .

(1)、求证：函数 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线恒过定点，并求出该定点的坐标；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > 2 x_{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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22. 多样化的体育场地会为学生们提供更丰富的身体锻炼方式.现有一个标准的铅球场地，如图，若场地边界曲线 $M$ 分别由两段同心圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ ， $\overset{⌢}{A D}$ 和两条线段 $A B$ ， $C D$ 四部分组成，在极坐标系 $O x$ 中， $∠ A O D = ∠ B O C = \frac{7 π}{36}$ ， $A$ 、 $O$ 、 $B$ 三点共线. $A (20, \frac{7 π}{72})$ ，点 $C$ 在半径为1的圆上.

(1)、分别写出组成边界曲线 $M$ 的两段圆弧和两条线段的极坐标方程；

(2)、若需设置一个距边界曲线 $M$ 距离不小于1且关于极轴所在直线对称的矩形警示区域，如图，求警示区域所围的最小面积.
住： $s i n \frac{7 π}{72} \approx 0.3$ ， $c o s \frac{7 π}{72} \approx 0.95$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x + a | + | x - 1 |$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ ；

(2)、对任意 $m \in (0, 3)$ .关于 $x$ 的不等式 $f (x) < m + \frac{1}{m} + 2$ 总有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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