四川省成都市2023-2024学年高三下学期模拟测试（一）理科数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $N = {x | x^{2} - x - 6 \geq 0}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${2}$ D、 ${- 2}$

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2. 已知 $z = \frac{1 - i}{2 + 2 i}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、0 B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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3. 设函数 $f (x) = 2^{x (x - a)}$ 在区间 $(0, 1)$ 上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[- 2, 0)$ C、 $(0, 2]$ D、 $(- \infty, - 2]$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $c o s < \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} > =$ （）

A、 $- \frac{31}{35}$ B、 $- \frac{19}{35}$ C、 $\frac{19}{35}$ D、 $\frac{17}{35}$

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5. 下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

A、6+4 $\sqrt{2}$ B、6+2 $\sqrt{3}$ C、4+4 $\sqrt{2}$ D、4+2 $\sqrt{3}$

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6. 下列函数中，以 $\frac{π}{2}$ 为周期且在区间( $\frac{π}{4}$ ， $\frac{π}{2}$ )单调递增的是

A、f(x)= sin│x│ B、f(x)=│sin 2x│ C、f(x)=cos│x│ D、f(x)=│cos 2x│

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7. 如图是求 $\frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}$ 的程序框图，图中空白框中应填入（）

A、A= $\frac{1}{2 + A}$ B、A= $2 + \frac{1}{A}$ C、A= $\frac{1}{1 + 2 A}$ D、A= $1 + \frac{1}{2 A}$

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8. 若直线l与曲线y= $\sqrt{x}$ 和x²+y²= $\frac{1}{5}$ 都相切，则l的方程为（）

A、y=2x+1 B、y= $\frac{1}{2}$ x+ $\frac{1}{2}$ C、y= $\frac{1}{2}$ x+1 D、y=2x+ $\frac{1}{2}$

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9. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 $L_{2}$ 点的轨道运行． $L_{2}$ 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M₁ ，月球质量为M₂ ，地月距离为R， $L_{2}$ 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
$\frac{M_{1}}{{(R + r)}^{2}} + \frac{M_{2}}{r^{2}} = (R + r) \frac{M_{1}}{R^{3}}$ .设 $α = \frac{r}{R}$ ，由于 $α$ 的值很小，因此在近似计算中 $\frac{3 α^{3} + 3 α^{4} + α^{5}}{{(1 + α)}^{2}} \approx 3 α^{3}$ ，则r的近似值为（）

A、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} R$ B、 $\sqrt{\frac{M_{2}}{2 M_{1}}} R$ C、 $\sqrt[3]{\frac{3 M_{2}}{M_{1}}} R$ D、 $\sqrt[3]{\frac{M_{2}}{3 M_{1}}} R$

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10. 已知椭圆C的焦点为 $F_{1} (- 1, 0) ， F_{2} (1, 0)$ ，过F₂的直线与C交于A ， B两点.若 $│ A F_{2} │ = 2 │ F_{2} B │$ ， $│ A B │ = │ B F_{1} │$ ，则C的方程为

A、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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11. 下列物体中，不能被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的是（）

A、直径为 $0.99 m$ 的球体 B、底面直径为 $0.01 m$ ，高为 $1.8 m$ 的圆柱体 C、所有棱长均为 $1.4 m$ 的四面体 D、底面直径为 $1.2 m$ ，高为 $0.01 m$ 的圆柱体

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R ，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .若对任意 $x \in (- \infty, m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则m的取值范围是

A、 $(- \infty, \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty, \frac{8}{3}]$ C、 $(- \infty, \frac{7}{3}]$ D、 $(- \infty, \frac{5}{2}]$

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二、填空题

13. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项是（用数字作答）．

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14. 已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ .若 $f (\ln 2) = 8$ ，则 $a =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = c o s ω x - 1 (ω > 0)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有且仅有2个零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 $\overset{⇀}{F_{1} A} = \overset{⇀}{A B}$ ， $\overset{⇀}{F_{1} B} \cdot \overset{⇀}{F_{2} B} = 0$ ，则C的离心率为．

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三、解答题

17. 已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.

(1)、求sinA；

(2)、设AB=5，求AB边上的高.

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18. 如图，直四棱柱ABCD–A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，AA₁=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB₁ ， A₁D的中点．

(1)、证明：MN∥平面C₁DE；

(2)、求二面角A-MA₁-N的正弦值．

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19. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} + a) - x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (0 < m < 5)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，A，B分别为C的左、右顶点．

(1)、求C的方程；

(2)、若点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $| B P | = | B Q |$ ， $B P ⊥ B Q$ ，求 $△ A P Q$ 的面积．

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21. 为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $- 1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $- 1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β ，一轮试验中甲药的得分记为X ．

(1)、求 $X$ 的分布列；

(2)、若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_{i} (i = 0, 1, ⋯, 8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_{0} = 0$ ， $p_{8} = 1$ ， $p_{i} = a p_{i - 1} + b p_{i} + c p_{i + 1}$ $(i = 1, 2, ⋯, 7)$ ，其中 $a = P (X = - 1)$ ， $b = P (X = 0)$ ， $c = P (X = 1)$ ．假设 $α = 0.5$ ， $β = 0.8$ ．
(i)证明： ${p_{i + 1} - p_{i}}$ $(i = 0, 1, 2, ⋯, 7)$ 为等比数列；
(ii)求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性．

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22. 在极坐标系中，O为极点，点 $M (ρ_{0} ， θ_{0}) (ρ_{0} > 0)$ 在曲线 $C ： ρ = 4 s i n θ$ 上，直线l过点 $A (4 ， 0)$ 且与 $O M$ 垂直，垂足为P.

(1)、当 $θ_{0} = \frac{π}{3}$ 时，求 $ρ_{0}$ 及l的极坐标方程；

(2)、当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

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