广东省高州市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $(2 + i^{3}) (2 - i) =$ （）

A、 $- 3 - 4 i$ B、 $3 - 4 i$ C、 $- 3 + 4 i$ D、 $3 + 4 i$

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2. 如果一架飞机向西飞行 $400 k m$ ，再向东飞行 $500 k m$ ，记飞机飞行的路程为 $s$ ，位移为 $\vec{a}$ ，那么 $s - | \vec{a} | =$ （）

A、 $800 k m$ B、 $700 k m$ C、 $600 k m$ D、 $500 k m$

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3. 如果 ${{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}}$ 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A、 ${\vec{e}}_{2}$ ， ${\vec{e}}_{1} - 2 {\vec{e}}_{2}$ B、 ${\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2}$ ， ${\vec{e}}_{2} + 2 {\vec{e}}_{1}$ C、 ${\vec{e}}_{1} - 3 {\vec{e}}_{2}$ ， $6 {\vec{e}}_{2} - 2 {\vec{e}}_{1}$ D、 ${\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}$ ， ${\vec{e}}_{1} - 3 {\vec{e}}_{2}$

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4. 已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示， $A^{'} C^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则边 $A B$ 上的中线的实际长度为（）

A、4 B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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5. 如图，有一古塔，在 $A$ 点测得塔底位于北偏东 $30 °$ 方向上的点 $D$ 处，在 $A$ 点测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $A$ 的正东方向且距 $D$ 点 $75 m$ 的 $B$ 点测得塔底位于西偏北 $45 °$ 方向上（ $A, B, D$ 在同一水平面），则塔的高度 $C D$ 约为（） $(\sqrt{2} \approx 1.414)$

A、 $34.20 m$ B、 $35.35 m$ C、 $35.75 m$ D、 $36.20 m$

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6. 若圆台的高是 $2 \sqrt{3}$ ，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为 $60 °$ ，则这个圆台的侧面积是（）

A、 $24 π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $9 \sqrt{3} π$ D、 $27 π$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在 $△ A B C$ 所在平面外，点 $O$ 是点 $P$ 在平面 $A B C$ 上的射影，且点 $O$ 在 $△ A B C$ 的内部．若 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两垂直，那么点 $O$ 是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

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8. 已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形， $A B$ 为圆 $M$ 的直径，若点 $P$ 为圆 $M$ 上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + 1$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 16]$ B、 $[- 4, 8]$ C、 $[- 2, 16]$ D、 $[- 3, 13]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 已知复数 $z$ 满足 $2 z - 5 = (z - 5) i$ ，则（）

A、 $z$ 的实部是3 B、 $\bar{z} = 3 + i$ C、 $| z | = \sqrt{10}$ D、 $(z - 2)^{2} = 2 i$

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10. 在下列情况的三角形中，有两个解的是（）

A、 $a = \sqrt{5}$ ， $b = 4$ ， $A = 30 °$ B、 $b = 11$ ， $c = 10$ ， $B = 60 °$ C、 $a = 3$ ， $c = 1$ ， $A = 90 °$ D、 $a = 12$ ， $b = 16$ ， $A = 45 °$

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11. $《$ 九章算术 $》$ 里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑” $.$ 如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑” $.$ 在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B ， A B = \sqrt{2}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，当此鳖臑的体积 $V$ 最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = 2 \sqrt{2}$ B、此鳖臑的体积 $V$ 的最大值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在复平面内，复数 $z$ 对应的点为 $(2, - 1)$ ，则 $| i \bar{z} - 1 | =$ ．

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13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2}$ ， $| \vec{b} | = 1$ ， $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的大小为．

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14. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b c o s C + c c o s B = 4 a c o s A$ ，若 $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，则 $\frac{S}{a^{2}}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15. 设 $a$ 是实数，复数 $z_{1} = 1 + 2 i$ ， $z_{2} = (a + i) (1 - 2 i)$ （i是虚数单位）．

(1)、若 $z_{2}$ 在复平面内对应的点在第二象限，求 $a$ 的取值范围；

(2)、求 $| {\bar{z}}_{1} + z_{2} |$ 的最小值．

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 3, c = 6, A D$ 是 $△ A B C$ 的一条中线，求线段 $A D$ 的长．

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17. 如图（1），在直角梯形 $A B C P$ 中， $A P ∥ B C$ ， $A P ⊥ A B$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A P$ ， $D$ 是 $A P$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 的中点，将 $△ P C D$ 沿 $C D$ 折起得到四棱锥 $P - A B C D$ ，如图（2）．
图（1）图（2）

(1)、在图（2）中，求证： $E F ⊥ P A$ ；

(2)、在图（2）中， $G$ 为线段 $B C$ 上任意一点，若 $A P ∥$ 平面 $E F G$ ，请确定点 $G$ 的位置．

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18. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $t a n C = \frac{\sqrt{3} s i n A s i n B}{s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C}$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、当 $c = \sqrt{3}$ 时，求 $a b$ 的取值范围．

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19. 如图，在三棱柱 $A D P - B C Q$ 中，侧面 $A B C D$ 为矩形．

(1)、设 $M$ 为 $A D$ 中点，点 $N$ 在线段 $P C$ 上，且 $N C = 2 P N$ ，求证： $P M ∥$ 平面 $B D N$ ；

(2)、若二面角 $Q - B C - D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，且 $A D = \frac{1}{2} A B$ ，求直线 $B D$ 和平面 $Q C B$ 所成角的正弦值．

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