浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 全集 $U = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {- 2, 2, 3}$ ， $B = {0, 1, 2}$ ，则 $(∁_{U} A) ∩ B =$ （）

A、 $ϕ$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${0, 1, 2}$

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2. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $x \in (- 4, \frac{1}{4})$ ，则函数 $f (x^{2})$ 的定义域为（）

A、 $(- 2, \frac{1}{2})$ B、 $(0, \frac{1}{2})$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(- 2, 2)$

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3. 已知 $a = \frac{l n \sqrt{2}}{4}$ ， $b = \frac{1}{e^{2}}$ ， $c = \frac{l n \sqrt{3}}{3}$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、 $a < c < b$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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4. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ ）的部分图象如图所示， $△ A B C$ 是等腰直角三角形，A ， B为图象与x轴的交点，C为图象上的最高点，且 $| O B | = 3 | O A |$ ，则（）

A、 $f (6) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $f (1) + f (9) = 0$ C、 $f (x)$ 在 $(3, 5)$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5}{2}, 0)$ 中心对称

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5. 下列图像中，不可能成为函数 $f (x) = x^{3} - \frac{m}{x}$ 的图像的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8；若浇水，盆栽枯萎的概率为0.2．若邻居浇水的概率为P ，该人回来盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数P的值为（）

A、0.9 B、0.85 C、0.8 D、0.75

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7. 函数 $f (x) = x + l o g_{2} x - 4$ 的零点为 $x_{1}$ ，函数 $g (x) = x + l o g_{a} (x - 1) - 5$ 的零点为 $x_{2}$ ，若 $x_{2} - x_{1} > 1$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2})$ B、 $(1, 2)$ C、 $(\sqrt{2}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x - 2}} - e^{x - 2}$ ，若 $f (a - 2) + f (2 a^{2}) > 0$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- 2, \frac{3}{2})$ C、 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ D、 $(- 2, + \infty)$

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二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）

9. 函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = (x + 1)^{2}$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $M (2) = 3$ B、 $\forall x \geq 1$ ， $M (x) \geq 4$ C、 $M (x)$ 有最大值 D、 $M (x)$ 最小值为0

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10. 下列关于排列组合数的说法正确的是（）

A、 $C_{3}^{3} + C_{4}^{3} + ⋯ + C_{10}^{3} = 330$ B、 ${(C_{100}^{0})}^{2} + {(C_{100}^{1})}^{2} + ⋯ + {(C_{100}^{100})}^{2} = C_{200}^{100}$ C、已知 $n > m$ ，则等式 $\frac{C_{n}^{m}}{m + 1} = \frac{C_{n + 1}^{m + 1}}{n + 1}$ 对 $\forall n$ ， $m \in N^{*}$ 恒成立 D、 $x = A_{90}^{90} \times (\frac{2}{A_{3}^{3}} + \frac{3}{A_{4}^{4}} + ⋯ + \frac{89}{A_{90}^{90}})$ ，则x除以10的余数为6

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11. 投掷一枚质地均匀的硬币，规定抛出正面得2分，抛出反面得1分，记投掷若干次后，得n分的概率为 $P_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $P_{1} = \frac{1}{2}$ B、 $P_{2} = \frac{1}{2}$ C、当 $n \geq 3$ 时， $P_{n} = \frac{1}{2} P_{n - 1} + \frac{1}{2} P_{n - 2}$ D、当 $n \geq 10$ 时， $P_{n} = 2 - 2 P_{n + 1}$

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三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，其中第13题第（1）空2分，第（2）空3分）

12. 已知 $c o s (α + \frac{π}{12}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $s i n (\frac{11 π}{12} - α) =$ ．

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13. 已知正实数a ， b ， c ， $a + b = 3$ ，则 $a b$ 的最大值为， $\frac{a c}{b} + \frac{3 c}{a b} + \frac{3}{c + 1}$ 的最小值为．

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14. 某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花．现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有种．

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四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 8 x - 20 \leq 0}$ ，非空集合 $B = {x | 1 - m \leq x \leq 1 + m}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、若 $x \notin A$ 是 $x \notin B$ 的必要条件，求m的取值范围．

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16. 函数 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} (x^{2} - a x + 3)$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为R ，求实数a的取值范围；

(2)、方程 $2^{- f (x)} = a$ 在区间 $(0, 2)$ 上有解，求实数a的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = - s i n (x + \frac{π}{3}) + 2 c o s (x + \frac{π}{6})$ ， $(a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、解不等式 $f (x) \leq \frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ ；

(3)、函数 $f (x)$ 的图象依次经过三次变换：①向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，②纵坐标不变，横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ， ③关于y轴对称，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 图象在y轴右侧第二个对称中心的坐标．

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18. 设a ， $b \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 3$ ， $g (x) = | x - a |$ ， $x \in R$ ．

(1)、若 $f (x)$ 为偶函数，求b的值；

(2)、当 $b = - \frac{1}{2}$ 时，若 $f (x)$ ， $g (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上均单调递增，求a的取值范围；

(3)、设 $a \in [1, 3]$ ，若对任意 $x \in [1, 3]$ ，都有 $f (x) + g (x) \leq 0$ ，求 $a^{2} + 6 b$ 的最大值．

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19. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ），已知 $A = {a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{2024}}$ ，则集合A中的元素个数可表示为 $C a r d (A) = 2024$ ，又有 $B \subseteq A$ 且 $B \neq ϕ$ ．

(1)、求集合A中奇数元素的个数，不需说明理由；并求出集合B中所有元素之积为奇数的概率；

(2)、求集合B中所有元素之和为奇数的概率．

(3)、取其中的6个数1，2，3，5，13，21，任意排列，若任意相邻三数之和都不能被3整除，求这样的排列的个数．（如排列1，2，3，5，13，21中，相邻三数如“1，2，3”（“3，5，13”、“5，13，21”），和能被3整除，则此排列不合题意）

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