浙江省环大罗山联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1. 设全集 $U = {x \in N^{*} ∣ x \leq 8}$ ，集合 $A = {1, 3, 5, 8}$ ， $B = {5, 6, 7, 8}$ ，则 $(∁_{U} A) ∪ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1, 2, 3, 4, 5, 8}$ B、 ${1, 2, 3, 4, 6, 7}$ C、 ${5, 6, 7, 8}$ D、 ${2, 4}$

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2. “ $x > 3$ ”是“关于 $x$ 的不等式 $l n (x^{2} - x + 1) > l n (x + 4)$ 成立”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不

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3. 幂函数 $y = x^{m^{2} - 2 m - 3} (m \in Z)$ 的图象关于 $y$ 轴对称，且在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则 $m$ 的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 若数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $⋯$ ， $x_{n}$ 的方差为 $s^{2}$ ，则 $- 5 x_{1} + 2, - 5 x_{2} + 2$ ， $⋯$ ， $- 5 x_{n} + 2$ 的方差为（）

A、 $s^{2}$ B、 $5 s^{2}$ C、 $25 s^{2}$ D、 $- 5 s^{2}$

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5. 为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校要安排2名大学生，则不同的安排方法种数为（）

A、30 B、60 C、90 D、120

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6. 已知某校有2400名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (100, 225)$ ，则下列说法正确的有（）（参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973)$

A、这次考试成绩超过100分的约有1000人 B、这次考试分数低于70分的约有40人 C、 $P (115 < X \leq 130) = 0.0514$ D、从中任取4名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 $\frac{11}{16}$

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7. 函数 $f (x) = | 1 + \frac{2}{2^{x} - 1} |$ ，若 $a = f (- \frac{2}{3})$ ， $b = f (l n 2)$ ， $c = f (\frac{1}{- 1 + l o g_{2} 5})$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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8. 设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x) + f (2 x + 2) = 0$ ， $f (x + 1)$ 为奇函数，当 $x \in [1, 2]$ 时，
$f (x) = a \cdot 2^{x} + b$ ，若 $f (0) = - 1$ ，则 $f (l o g_{2} 2024) =$ （）

A、1011 B、 $\frac{3}{253}$ C、 $\frac{125}{253}$ D、 $\frac{189}{64}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．

9. 考虑两个变量 $X$ 和 $Y$ 的样本数据集，其样本相关系数 $r_{x y}$ 通过以下公式给出：
$r_{x y} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} = 1 {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
其中， $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的第 $i$ 个样本值， $x$ 和 $y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的样本均值。
下列关于样本相关系数公式各部分的陈述正确的是（）

A、分母中的 $\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ 和 $\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ 是 $X$ 和 $Y$ 的标准差。 B、分子部分 $\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$ 用于衡量两个变量之间变化趋势的一致性，即分子为正值时表示变量之间正相关，分子为负值时表示变量之间负相关。 C、样本相关系数的值越接近于0，表示 $X$ 和 $Y$ 之间的线性关系越强。 D、通过对分子部分进行标准化处理，样本相关系数能够消除变量的度量单位的影响，使得不同数据集之间的相关性能够进行直接比较。

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10. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，若 $f (x y) = y f (x) + x f (y)$ ，则以下一定成立的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (2) = 2$ C、 $f (x)$ 为奇函数 D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上是增函数

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11. 设 $A$ ， $B$ 是一个随机试验中的两个事件，且 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{4}{5}$ ， $P (A + \bar{B}) = \frac{7}{15}$ ，则（）

A、 $P (A \bar{B}) = \frac{1}{15}$ B、 $P (B ∣ A) = \frac{3}{4}$ C、 $P (\bar{B} ∣ A) = P (\bar{B} ∣ \bar{A})$ D、 $P (A \bar{B} + \bar{A} B) = \frac{3}{5}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 ${(x^{2} + \frac{a}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数为80，则 $a =$ ．

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13. 已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $4 x + 9 y = x y$ 且 $x + y < m^{2} - 24 m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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14. 已知实数 $x_{1}$ 为函数 $f (x) = x e^{x} - e^{4}$ 的零点， $x_{2}$ 为函数 $g (x) = x (l n x - 2) - e^{6}$ 的零点，则 $x_{1} x_{2} =$ ．

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四、解答题：本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + 1 (a \in R)$

(1)、若不等式 $f (x) < 1 - b$ 的解集为 ${x ∣ - 2 < x < 3}$ ，求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，若方程 $f (x) + a + 8 = 0$ 的两个不相等的实根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求 $\frac{x_{1} + 1}{x_{2}} + \frac{x_{2} + 1}{x_{1}}$ 的取值范围．

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16. 李医生家在 $H$ 小区，他在 $C$ 医院工作，从家开车到医院上班有 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 两条路线（如图），路线 $L_{1}$ 上有 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 $p$ ， $(0 < p < 1)$ ；路线 $L_{2}$ 上有 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{3}{5}$ ．

(1)、若走路线 $L_{1}$ 且 $p = \frac{1}{2}$ ，求最多遇到1次红灯的概率；

(2)、若走路线 $L_{2}$ ，求遇到红灯次数 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择 $L_{1}$ ， $L_{2}$ 哪条路线上班更好．

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17. 生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量 $H (t)$ （单位： $n g / m L$ ）与一天中的时间 $t$ （单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：
●在夜间 $(0 \leq t < 6)$ ，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数 $H (t) = a$ ．
●在早晨 $(6 \leq t \leq 12)$ ，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为 $H (t) = b (t - 6) + a$ ，当 $t = 12$ 时，分泌量达到最大值 $H_{m a x}$
●在下午和晚上 $(12 < t \leq 24)$ ，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即 $H (t) = H_{m a x} \cdot e^{- c (t - 12)}$ ．
已知午夜时荷尔蒙分泌量为 $5 n g / m L$ ，峰值分泌量为 $20 n g / m L$

(1)、求参数 $a$ ， $b$ 和 $c$ 的值以及函数 $H (t)$ 的解析式；

(2)、求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于 $10 n g / m L$ 的时长．

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18. 已知函数 $f (x) = l o g_{4} \frac{4^{x} + m}{2^{x}}$ 为偶函数．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $f (x) = l o g_{4} g (x)$ ，判断 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性，并用定义法给出证明；

(3)、若 $f (x) \geq l o g_{4} (a \cdot 2^{x} - a)$ 在区间 $(1, 2]$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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19. 假设通过简单随机抽样得到 $X$ 和 $Y$ 的抽样数据列联表，

$X$
$Y$
合计
$Y = 0$
$Y = 1$
$X = 0$
$a$
$b$
$a + b$
$X = 1$
$c$
$d$
$c + d$
合计
$a + c$
$b + d$
$n = a + b + c + d$
课本中给出 $χ^{2}$ 统计量计算公式如下：
$χ^{2} = \frac{{(a - \frac{(a + b) (a + c)}{n})}^{2}}{\frac{(a + b) (a + c)}{n}} + \frac{{(b - \frac{(a + b) (b + d)}{n})}^{2}}{\frac{(a + b) (b + d)}{n}} + \frac{{(c - \frac{(c + d) (a + c)}{n})}^{2}}{\frac{(c + d) (a + c)}{n}} + \frac{{(d - \frac{(c + d) (b + d)}{n})}^{2}}{\frac{(c + d) (b + d)}{n}}$
此处我们把 $2 \times 2$ 列联表中的 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 称为观察频数 ，记作 $O_{i j}$ ，（例如 $O_{12} = b$ ， $O_{21} = c$ ），
把 $\frac{(a + b) (a + c)}{n}$ ， $\frac{(a + b) (b + d)}{n}$ ， $\frac{(c + d) (a + c)}{n}$ ， $\frac{(c + d) (b + d)}{n}$ 称为期望频数，记作 $E_{i j}$ ，
即第i行的频数和乘以第j列的频数和与频数总和的商．（例如 $E_{11} = \frac{(a + b) (a + c)}{n}$ ， $E_{22} = \frac{(c + d) (b + d)}{n}$ ）．则我们可以将卡方统计量的计算公式写成以下更为一般的形式：
$χ^{2} = \sum \frac{{(o_{i j} - E_{i j})}^{2}}{E_{i j}}$ （Σ表示对后面的代数式求和）
根据以上信息，假设一项研究旨在分析不同教学方法对学生数学成绩的影响。研究中采用了三种不同的教学方法：传统方法、在线学习和互动式学习。学生根据他们的成绩被分为三个级别：低、中、高，用频率估计概率。研究结果如下表所示：

教学方法\成绩级别
低
中
高
总计
传统方法
20
30
50
100
在线学习
35
45
20
100
互动式学习
25
15
60
100
总计
80
90
130
300
参考数据：

$P (χ^{2} \geq α)$
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005

7.78
9.49
11.14
13.28
14.86

(1)、已知在“传统方法”中，参加数学兴趣小组的同学按照成绩“低”、“中”、“高”的分别占对应人数的 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{5}$ ，求“传统方法”中参加数学兴趣小组同学的概率．

(2)、（i）求 $O_{31}$ ， $E_{23}$ ；
（ii）依据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析这三种教学方法对学生数学成绩影响是否存在显著差异．

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	$X$	$Y$		合计
$Y = 0$	$X$	$Y = 1$		合计
$X = 0$	$a$	$b$	$a + b$
$X = 1$	$c$	$d$	$c + d$
合计	$a + c$	$b + d$	$n = a + b + c + d$

	教学方法\成绩级别	低	中	高	总计
传统方法	20	30	50	100
在线学习	35	45	20	100
互动式学习	25	15	60	100
总计	80	90	130	300

	$P (χ^{2} \geq α)$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
	7.78	9.49	11.14	13.28	14.86