浙江省杭州市浙里特色联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 集合 $A = {x | 2 \leq x < 4}$ ，集合 $B = {x | x^{2} - 5 x + 6 > 0}$ ，则集合 $A ∩ B =$ （）

A、 $(2, 4)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $[2, 3)$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 3 i^{2024} + 2 i^{3}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设 $α, β, γ$ 是三个不同平面，且 $α ∩ γ = l$ ， $β ∩ γ = m$ ，则“ $l ∥ m$ ”是“ $α ∥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若命题 $p : \exists x_{0}, y_{0} > 0$ ，有 ${x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} = x_{0} y_{0}$ 且 $x_{0} \neq y_{0}$ ，则命题 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x, y > 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 且 $x = y$ B、 $\forall x, y > 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 或 $x = y$ C、 $\forall x, y \leq 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 且 $x = y$ D、 $\forall x, y \leq 0, x^{2} + y^{2} \neq x y$ 或 $x = y$

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5. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，满足 $| \vec{a} | = 5$ ， $| \vec{b} | = 6$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 6$ ，则 $c o s ⟨ \vec{a}, \vec{a} + \vec{b} ⟩ =$ （）

A、 $- \frac{31}{35}$ B、 $- \frac{19}{35}$ C、 $\frac{17}{35}$ D、 $\frac{19}{35}$

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6. 已知函数 $f (x) = | s i n x c o s x + \frac{1}{4} |$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $(π, \frac{1}{4})$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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7. 如图，透明塑料制成的长方体容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 $B C$ 于地面上，再将容器绕边 $B C$ 倾斜．随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（）

(1)、（2）（3）

A、没有水的部分始终呈棱柱形 B、棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与水面所在平面平行 C、水面 $E F G H$ 所在四边形的面积为定值 D、当容器倾斜如图（3）所示时， $B E \cdot B F$ 是定值

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8. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 3$ ， $a c o s B = (2 c - b) c o s A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知复数 $z = - 1 + 3 i$ ， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则（）

A、 $| z + 3 - 2 i | = \sqrt{5}$ B、 $z$ 的虚部是 $3 i$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第二象限 D、复数 $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 8 = 0$ 的一个根

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10. 已知非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，以下命题正确的有（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{b} |$ ，则 $| 2 \vec{b} | > | \vec{a} + \vec{2 b} |$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | > | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、已知 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{b} = (0, 1)$ ， $\vec{c} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ，则 $⟨ \vec{a}, \vec{c} ⟩ = ⟨ \vec{b}, \vec{c} ⟩$

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11. 如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为正方形 $C_{1} C D D_{1}$ 内一个动点（包括边界），且 $B_{1} F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ，则下列说法正确的有（）

A、记 $C_{1} D_{1}$ 的中点为 $N$ ， $C C_{1}$ 上存在一点 $P$ ，使得面 $N P B_{1} ∥$ 面 $B E A_{1}$ B、动点 $F$ 轨迹的长度为 $\sqrt{3}$ C、三棱锥 $B_{1} - D_{1} E F$ 体积的最小值为 $\frac{1}{3}$ D、当三棱锥 $B_{1} - D_{1} D F$ 的体积最大时，其外接球的表面积为 $\frac{25}{2} π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 已知 $2^{a} = 3$ ， $l o g_{4} 5 = b$ ，则 $8^{a - 2 b} =$ ．

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13. 已知圆锥的底面圆周在球 $O$ 的球面上，顶点为球心 $O$ ，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球 $O$ 的表面积为．

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14. 如图所示，为了测量某座山的山顶 $A$ 到山脚某处 $B$ 的距离（ $A B$ 垂直于水平面），研究人员在距 $D$ 研究所 $200 m$ 处的观测点 $C$ 处测得山顶 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，山脚 $B$ 的俯角为 $15 °$ ．若该研究员还测得 $B$ 到 $C$ 处的距离比到 $D$ 处的距离多 $80 m$ ，且 $∠ B C D = 60 °$ ，则 $A B =$ ．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知复数 $z = \frac{5}{1 + 2 i} + 1 + i$ ， $i$ 为虚数单位．

(1)、求 $\bar{z}$ ；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根，求实数 $m, n$ 的值；

(3)、若复数 $z_{1}$ 满足 $| z_{1} - 1 | = 2$ ，求 $| z_{1} - z |$ 的最值．

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16. 在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 在边 $A C$ 上， $\vec{P C} = 2 \vec{A P}$ ， $| \vec{A B} | = 2$ ， $| \vec{B C} | = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ．

(1)、求 $\vec{B P}$ 的模；

(2)、求向量 $\vec{B A}$ 与 $\vec{B P}$ 夹角的余弦值；

(3)、若点 $M$ 在边 $A B$ 上，求 $\vec{M B} \cdot \vec{M C}$ 的范围．

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17. 三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长都为2， $D$ 和 $E$ 分别是 $B B_{1}$ 和 $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证：直线 $D E ∥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、若 $∠ A_{1} A C = 60 °$ ，点 $B$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $D - A B C_{1}$ 的体积．

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18. 在锐角三角形 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} (a c o s C + c c o s A) = 2 b s i n B$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $a^{2} + c^{2}$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{6}{x}$ ， $g (x) = x^{2} + 1$ ，

(1)、求 $f [g (x)]$ 的解析式；

(2)、关于 $x$ 的不等式 $f [g (x)] \geq k - 7 x^{2}$ 的解集为 $R$ ，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、关于 $x$ 的不等式 $f [g (x)] > \frac{a}{x}$ 的解集中的正整数解恰有3个，求实数 $a$ 的取值范围．

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