浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若 $(1 - i) z = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知三角形 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c ，若 $a = 5, b = 8, C = 6 0^{°}$ ，则 $\bar{C A} \cdot \bar{C B} =$ （）

A、 $- 20 \sqrt{3}$ B、-20 C、20 D、 $20 \sqrt{3}$

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3. $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，且 $a = 1, c = \sqrt{3}, B = \frac{π}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (k, 3), \vec{b} = (1, 4), \vec{c} = (2, 1)$ ，且 $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $k =$ （）

A、3 B、0 C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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5. 如图所示，矩形 $O^{^{'}} A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 $O^{^{'}} A^{^{'}} = 6 c m$ ， $C^{^{'}} D^{^{'}} = 2 c m$ ，则原图形OABC的面积是（）cm².

A、12 B、 $12 \sqrt{2}$ C、6 D、 $24 \sqrt{2}$

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6. 已知圆锥的底面圆半径为 $\sqrt{3}$ ，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（）

A、 $12 π$ B、 $9 π$ C、 $3 π$ D、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{3}$

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7. 窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内．如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上，下边与正八边形的上、下边平行，边长都是4．如图2，A，B是中间正方形的两个相邻的顶点， $P$ 是外框正八边形上的一点，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A P}$ 的最大值是（）

A、 $16 + 8 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2} + 8$ C、 $8 \sqrt{2} + 8$ D、 $16 \sqrt{2} + 16$

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8. 在锐角 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若 $\frac{s i n B s i n C}{3 s i n A} = \frac{c o s A}{a} + \frac{c o s C}{c}$ ，且 $s i n^{2} A + s i n^{2} B - s i n^{2} C = s i n A \cdot s i n B$ ，则 $\frac{c^{2}}{a + b}$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{3} ， 2 \sqrt{3})$ B、 $(6 ， 4 \sqrt{3}]$ C、 $[2 \sqrt{3} ， 6)$ D、 $[\sqrt{3} ， 2)$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知 $i$ 是虚数单位，在复平面内，下列说法正确的是（）

A、 $- i^{2} = 1$ B、 $(- i)^{2} = 1$ C、若 $a > b$ ，则 $a + i > b + i$ D、若复数 $z$ 满足 $z^{2} < 0$ ，则 $z$ 是纯虚数

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10. 设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为a，b，c ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a = \sqrt{10}, b = 2, c = 3$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{A C} = \frac{3}{2}$ B、若 $A > B$ ，则 $s i n A > s i n B$ C、若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}, B = 4 5^{°}$ ，则 $A = 6 0^{°}$ D、若 $a c o s A = b c o s B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形

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11. 在正四面体ABCD中，若 $A B = 2, M$ 为BC的中点，下列结论正确的是（）

A、正四面体外接球的表面积为 $6 π$ B、正四面体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ C、如果点 $P$ 在线段DM上，则 $(A P + C P)^{2}$ 的最小值为 $4 + \frac{4 \sqrt{6}}{3}$ D、正四面体ABCD内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面BCD上，上底圆面与面ABD、面ABC、面ACD均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$

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三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分（12題第一空2分第二空3分）．

12. 平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 中，已知 $\vec{a} = (4, - 3), | \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 5$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为，向量 $\vec{b}$ 的坐标为.

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13. 若 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $1 \leq | z + 1 + i | \leq \sqrt{2}$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为.

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14. 若 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心， $B G ⊥ C G$ ，则 $c o s A$ 的最小值为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. 已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{Z}$ 是 $Z$ 的共轭复数．

(1)、若 $(1 + 2 i) \bar{Z} = 4 + 4 i - i^{2021}$ ，求复数 $Z$ 和 $| z |$ ；

(2)、若复数 $z_{1} = (m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值．

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16. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (x, 3), \vec{c} = (y, 2)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求 $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ ；

(2)、若 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 的夹角的大小．

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17. 如图，AB是圆柱 $O O^{^{'}}$ 的一条母线，BC过底而圆心O ， D是圆 $O$ 上一点．已知 $A B = B C = 5, C D = 3$ ，

(1)、求该圆柱的表面积；

(2)、求 $△ A C D$ 的三边绕母线AB所在的直线旋转一周所围成的几何体的体积 $V$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c ，已知 $b s i n C = \sqrt{3} a - \sqrt{3} c c o s B$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $a + b = 2$ ，求边长 $c$ 的取值范围；

(3)、若 $c = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值．

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19. 如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点， $A B = 3, A D = 2$ ．

(1)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{C Q} = λ \vec{C B}, 0 ⩽ λ ⩽ 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的范围；

(2)、若 $∠ P A Q = \frac{π}{4}$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{D P} = 2 \vec{P C}$ ，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点 $H$ ，使得 $∠ T H Q$ 最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由．

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