浙江省杭州S9联盟2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {x ∣ x = 3 k - 1, k \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 ${1, 2}$ C、 ${2}$ D、 ${1}$

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2. 复数 $z = (1 - 3 i) (1 + i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $t a n α = \sqrt{3}$ ，则 $s i n α \cdot (s i n α + c o s α) =$ （）

A、 $- \frac{9 + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 + \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{3 + \sqrt{2}}{4}$

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4. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{3}$ ，则点 $A_{1}$ 到面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + l n x$ .若 $f (a + 1) \geq f (2 a - 1)$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- ∞, - 1]$ B、 $(\frac{1}{2}, 2]$ C、 $[3, + ∞)$ D、 $[\frac{1}{2}, + ∞)$

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6. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} + S_{n} = n (n \in N^{*})$ ，则下列选项中正确的是（）

A、数列 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 是常数列 B、若 $a_{1} = 1$ ，则 ${a_{n}}$ 的最小项的值为-1 C、若 $a_{1} = - 1$ ，则 $S_{2024} = 1012$ D、若 $a_{1} < \frac{1}{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 是递增数列

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7. 直线 $l_{0} : x - y + 1 = 0$ ，直线 $l_{1} : a x - 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{0}$ 平行，且直线 $l_{2} : x + b y + 3 = 0$ 与 $l_{0}$ 垂直，则 $a + b =$ （）

A、4 B、2 C、3 D、1

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8. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，渐近线方程为 $y = \pm x$ ，焦距为8，点 $A$ 的坐标为 $(1, 3)$ ，点 $P$ 为 $C$ 的右支上的一点，则 $| P F | + | P A |$ 的最小值为（）

A、 $7 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{2} + \sqrt{10}$

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二、､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错的0分.

9. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2, E ､ F$ 分别为棱 $B_{1} C_{1} ､ B_{1} B$ 的中点，则下列结论正确的为（）

A、 $\vec{A D_{1}} = 2 \vec{E F}$ B、 $\vec{B_{1} D_{1}} \cdot \vec{A C} = 0$ C、 $| \vec{D F} | = 2$ D、 $\vec{D F}$ 不是平面 $A C D_{1}$ 的一个法向量

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10. 已知正数 $a, b$ 满足 $(a - 1) (b - 1) = 1$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $\frac{a}{b} + 2 b \geq 5$ C、 $a + b \geq 4$ D、 $a^{2} + b^{2} \leq 8$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 有两个极值点 B、直线 $y = - \frac{3}{2} x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线 C、 $f (x)$ 有三个零点 D、存在等差数列 ${a_{n}}$ ，满足 $\sum_{k = 1}^{5} f (a_{k}) = 5$

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三、､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 2, c o s A = \frac{4}{5}, c o s B = \frac{5}{13}$ ，则 $b =$ .

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13. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字 $1 、 2 、 3 、 4$ ，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是.

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14. 已知圆系 $C : (x - t)^{2} + {(y - t^{2})}^{2} = t^{2} + {(t^{2} - \frac{1}{2})}^{2} (t \in R)$ ，圆 $C$ 过 $y$ 轴上的定点 $A$ ，线段 $M N$ 是圆 $C$ 在 $x$ 轴上截得的弦，设 $| A M | = m, | A N | = n$ .对于下列命题：
①不论 $t$ 取何实数，圆心 $C$ 始终落在曲线 $y^{2} = x$ 上；
②不论 $t$ 取何实数，弦 $M N$ 的长为定值1；
③式子 $\frac{m}{n} + \frac{n}{m}$ 的取值范围是 $[2, 2 \sqrt{2}]$ .
④不论 $t$ 取何实数，圆系 $C$ 的所有圆都与直线 $y = \frac{1}{2}$ 相切；
其中真命题的序号是.（把所有真命题的序号都填上）

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四、､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，三个条件为：
① $2 b c o s A = c c o s A + a c o s C$ ；② $a s i n B = \sqrt{3} b c o s A$ ；③ $c o s C + (c o s B - \sqrt{3} s i n B) c o s A = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{7}, b + c = 8$ ，求 $b c$ 的值.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥ A C, B D ⊥ P C, P A = A B = 8$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、若 $\vec{P C} = 4 \vec{P E}, ∠ A B C = 6 0^{∘}$ ，求三棱锥 $P - B D E$ 的体积.

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17. 设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{2} = 6$ ，且 $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} - a_{n} + 2$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(3)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ，并证明 $T_{n} < 1$ .

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18. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 且椭圆经过点 $(2, - \sqrt{2})$ ， $F_{1}, F_{2}$ 为左右焦点.

(1)、求椭圆方程；

(2)、P是椭圆上任意一点，求 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的取值范围；

(3)、过椭圆左焦点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A 、 B$ 两点，求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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19.

(1)、已知 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，求 $f (x) = \frac{l n x + 1}{x^{2}}$ 的最大值与最小值；

(2)、求函数 $g (x) = a x^{2} - l n x - 1$ 的单调区间.

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $l n x > a x^{2} - 1$ 存在唯一的整数解，求实数 $a$ 的取值范围.

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