江西省宜春市丰城九中等五校2023-2024学年高一下学期4月第一次联考（期中考试）数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知直线 $l_{1}$ ： $a x - y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $a x + (a + 2) y - 1 = 0 .$ 若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $0$ 或 $- 3$ B、 $- 3$ C、 $0$ D、 $- 1$ 与 $0$

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2. 已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆 $\frac{y^{2}}{49} + \frac{x^{2}}{24} = 1$ 有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（）

A、 $3 x \pm 4 y = 0$ B、 $4 x \pm 3 y = 0$ C、 $4 x \pm 5 y = 0$ D、 $5 x \pm 4 y = 0$

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3. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的一段图象过点 $(0, 1)$ ，如图所示，则函数 $f (x) =$ （）

A、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6})$

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4. $P A, P B, P C$ 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为 $60 °$ ，则直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值是（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数且在 $(- ∞, 0)$ 上为增函数，若 $a = f (l o g_{\frac{1}{2}} 3)$ ， $b = f (0 . 9^{1.1})$ ， $c = f (0 . 9^{1.2})$ ，则（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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6. 已知点 $P$ 为直线 $y = x + 1$ 上的一点， $M ， N$ 分别为圆 $C_{1}$ $： {(x - 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} ：$ $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上的点，则 $| P M | - | P N |$ 的最大值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + ∞)$ ，且 $(x + y) f (x + y) = x y f (x) f (y), f (1) = e$ ，记 $a = f (\frac{1}{2}), b = f (2), c = f (3)$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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8. $△ A B C$ 中， $A = 3 B = 9 C$ ， $c o s A c o s B + c o s B c o s C + c o s C c o s A =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知 $m ， n$ 是不同的直线， $α ， β$ 是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $m$ $/ /$ $α ， n \subset α$ ，则 $m$ $/ /$ $n$ B、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m$ $/ /$ $n$ ，则 $α$ $/ /$ $β$ C、若 $α$ $/ /$ $β ， m \subset α$ ，则 $m$ $/ /$ $β$ D、若 $α$ $/ /$ $β ， m \subset α ， n \subset β$ ，则 $m$ $/ /$ $n$

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10. 某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（）

A、首选科目为历史的学生样本容量为20 B、所有样本的均值为87分 C、每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为 $\frac{2}{5}$ D、首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13

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11. 如图，已知直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且 $O A ⊥ O B, O D ⊥ A B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，则（）

A、若点 $D$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，则 $p = \frac{5}{4}$ B、直线 $l$ 恒过定点 $(p, 0)$ C、点 $D$ 的轨迹方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 p x = 0 (x \neq 0)$ D、 $△ A O B$ 的面积的最小值为 $4 p^{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A ， B的距离之比为定值λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（2，0），点P满足 $\frac{P A}{P B}$ ＝3，则 $\vec{P A}$ · $\vec{P B}$ 的最小值为．

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13. 已知实数x ， y满足 $x > y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ， $M = \frac{3}{x + 2 y} + \frac{1}{2 x - y}$ 的最小值为.

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14. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 且倾斜角为 $60 °$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于A ， B两点．若 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积是 $△ B F_{1} F_{2}$ 面积的2倍，则 $C$ 的离心率为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. “疫苗犹豫”，即尽管疫苗可及，却迟迟未接种或拒绝接种疫苗的现象.成人接种新冠疫苗的犹豫，主要原因是对感染新冠肺炎的风险缺乏了解，心存侥幸，认为即使不接种也未必会感染，对感染的后果也认识不足.现从某小区未接种的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分组：第1组 $[18, 28)$ ，第2组 $[28, 38)$ ，第3组 $[38, 48)$ ，第4组 $[48, 58)$ ，第5组 $[58, 68)$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)、求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(2)、现先从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率.

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16. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为矩形， $A B ⊥ A C$ 且 $A B = A C = 2 ， D$ 为 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $A A_{1} = B_{1} C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、证明： $A C_{1}$ $/ /$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A B_{1} C$ 与平面 $A A_{1} D$ 的夹角的余弦值．

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17. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 4$ ， $\frac{2 b c o s B}{c} = c o s A + \frac{s i n A}{t a n C}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、已知直线 $B D$ 为 $∠ A B C$ 的平分线，且与 $A C$ 交于点 $D$ ，若 $B D = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知i是虚数单位，a ， $b \in R$ ，设复数 $z_{1} = 2 a - \sqrt{3} i$ ， $z_{2} = 2 b + i$ ， $z_{3} = a + b i$ ，且 $| z_{3} | = 1$ .

(1)、若 $z_{1} - z_{2}$ 为纯虚数，求 $z_{3}$ ；

(2)、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面上对应的点分别为A ， B ，且O为复平面的坐标原点.
①是否存在实数a ， b ，使向量 $\vec{O B}$ 逆时针旋转 $90 °$ 后与向量 $\vec{O A}$ 重合，如果存在，求实数a ， b的值；如果不存在，请说明理由；
②若O ， A ， B三点不共线，记 $△ A B O$ 的面积为 $S (a, b)$ ，求 $S (a, b)$ 及其最大值.

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19. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过其右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右顶点为R，且满足 $| \vec{R P} + \vec{R Q} | =$ 2.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，若斜率为k（其中k≠0）的直线l过点F，且与椭圆交于点A，B，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点C，D，求四边形ACBD面积S的取值范围.

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