湖北省孝感市重点高中教科研协作体2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知直线 $l$ 的方程 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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2. 已知正整数 $n$ 满足 $C_{n + 1}^{n - 2} = A_{n}^{2}$ ，则 $n =$ （）

A、7 B、6 C、5 D、4

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3. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ 是 $B C$ 的中点， $\vec{A G} = 2 \vec{G E}$ ，则 $\vec{G C_{1}} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C} + \vec{A A_{1}}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} + \vec{A A_{1}}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} + \vec{A A_{1}}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} - \vec{A A_{1}}$

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4. 设曲线 $y = e^{2 a x}$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与直线 $x + 2 y - 2 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值为（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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5. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 2$ ， $a_{n} a_{n + 1} = a_{n} - 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2024项的积为（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 已知直线 $l$ ： $x - y + b = 0$ 和圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，圆上恰有三个点到直线 $l$ 的距离为1，则实数 $b$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\pm 2 \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $\pm \sqrt{2}$

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7. 在空间中，经过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，法向量为 $\vec{e} = (A, B, C)$ 的平面的方程（即平面上任意一点的坐标 $(x, y, z)$ 满足的关系式）为： $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) + C (z - z_{0}) = 0$ .用此方法求得平面 $α$ 和平面 $β$ 的方程，化简后的结果分别为 $x + 2 y - z = 1$ 和 $x - 2 y + 3 z = 4$ ，则这两平面夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{21}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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8. 将16个扶困助学的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额数互不相等，则不同的分配方法种数为（）

A、42 B、78 C、90 D、84

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知公差为 $d$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 是递减数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{8} = 2 a_{6}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{1} > 0$ C、若 $S_{n} \geq 0$ ，则 $n$ 的最大值为7 D、 $S_{n}$ 取最大值时， $n = 4$

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10. 关于函数 $f (x) = \frac{e^{x} (2 x - 1)}{x - 1}$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0, \frac{3}{2})$ B、函数 $f (x)$ 的值域是 $(- ∞, 1] \cup [4 e^{\frac{3}{2}}, + ∞)$ C、当 $t \in (4 e^{\frac{3}{2}}, + \infty)$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有两个不同的实数解 D、当 $t \in (- \infty, 1)$ 时，关于 $x$ 的方程 $f (x) = t$ 有两个不同的实数解

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11. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （其中 $a > b > 0$ ）的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，且直线 $y = \frac{2 \sqrt{5}}{5} x + 1$ 与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（）

A、 $e_{1}$ 的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $e_{2}$ 的取值范围是 $(\frac{3 \sqrt{5}}{5}, + \infty)$ C、 $e_{1} + e_{2}$ 的取值范围是 $(\sqrt{2}, \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ D、 $e_{2}^{2} - e_{1}^{2}$ 的取值范围是 $(\frac{8}{5}, 2)$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 3^{n + 1} + 2 a$ ，则 $a =$ .

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13. $2^{27} - 3$ 除以9的余数为.

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14. 如图，线段 $A B$ ， $B D$ 在平面 $α$ 内， $∠ A B D = 120 °$ ， $C A ⊥ α$ ，且 $A B = 1$ ， $B D = 2$ ， $A C = 3$ ，则 $C$ ， $D$ 两点间的距离为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 若数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 是等差数列，则称数列 ${a_{n}}$ 为调和数列.若实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 依次成调和数列，则称 $b$ 是 $a$ 和 $c$ 的调和中项.

(1)、求 $\frac{1}{2}$ 和4的调和中项；

(2)、已知调和数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = \frac{1}{5}$ ，求数列 ${a_{n} a_{n + 1}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 已知 ${(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项展开式只有第7项的二项式系数最大，请完成以下问题：

(1)、求展开式中二项式系数之和；

(2)、展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由；

(3)、求展开式中非常数项的系数之和.

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别为 $A A_{1}$ ， $A C$ ， $A_{1} C_{1}$ ， $B B_{1}$ 的中点， $A B = B C = \sqrt{3}$ ， $A C = A A_{1} = 2$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $B E F$ ；

(2)、求平面 $B C D$ 与直线 $C C_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、证明：直线 $F G$ 与平面 $B C D$ 相交.

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18. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的最大距离为 $2 + \sqrt{3}$ ， $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设过点 $P (4, m)$ 的直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 与椭圆分别交于点 $M$ ， $N$ ，其中 $m > 0$ ，
①证明：直线 $M N$ 过定点，并求出定点坐标；
②求 $△ O M N$ 面积 $S$ 的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = l n x + 2 x - b (b > 2)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 恰有一个零点 $a$ ，且 $a \in (1 ， b)$ ；

(2)、我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切线法”.任取 $x_{1} \in (1 ， a)$ ，实施如下步骤：在点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{2} ， 0)$ ：在点 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，交 $x$ 轴于点 $(x_{3} ， 0)$ ；一直继续下去，可以得到一个数列 ${x_{n}}$ ，它的各项是 $f (x)$ 不同精确度的零点近似值.
（i）设 $x_{n + 1} = g (x_{n})$ ，求 $g (x_{n})$ 的解析式；
（ii）证明：当 $x_{1} \in (1 ， a)$ ，总有 $x_{n} < x_{n + 1} < a$ .

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