广东省高州市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 从6名员工中选出3人分别从事教育、培训、管理三项不同的工作，则选派方案共有（）

A、60种 B、80种 C、100种 D、120种

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2. 下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数 $ξ$ ；
②一个沿 $x$ 轴进行随机运动的质点，它在 $x$ 轴上的位置 $η$ ；
③某派出所一天内接到的报警电话次数 $X$ ；
④某同学上学路上离开家的距离 $Y$ ．
其中是离散型随机变量的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 函数 $f (x) = x^{3} - x - 1$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x - 3$ B、 $y = x - 2$ C、 $y = - x$ D、 $y = - 2 x + 1$

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4. 若随机变量的分布列如表，则 $P (| X - 2 | = 1)$ 的值为（）
$X$
1
2
3
4
$P$
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{4}$
$a$
$\frac{1}{3}$

A、 $\frac{5}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 设点 $P$ 是函数 $f (x) = e^{x} - \sqrt{3} x$ 图象上的任意一点，点 $P$ 处切线的倾斜角为 $α$ ，则角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{2 π}{3})$ B、 $[0, \frac{π}{2}) ∪ (\frac{2 π}{3}, π)$ C、 $(\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3})$ D、 $[0, \frac{π}{2}) ∪ [\frac{2 π}{3}, π)$

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6. $(x - 1)^{2} (x^{2} - 2 x + 2)$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数与常数项之差为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、5 D、7

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7. 已知函数 $f (x) = x l n x - 2 x + a^{2} - a$ ，若 $f (x) \leq 0$ 在 $x \in [1, e^{2}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 1, 1]$

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8. 已知函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) l n x + \frac{1}{x} f (x) < 0$ （其中 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导数），若 $a = f (e^{\frac{1}{2}})$ ， $b = f (e^{\frac{1}{3}})$ ， $c = f (e^{\frac{1}{4}})$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $6 a < 46 < 3 c$ B、 $6 a < 3 c < 4 b$ C、 $46 < 6 a < 3 c$ D、 $4 b < 3 c < 6 a$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9. 对于 ${(x - \frac{1}{x})}^{8}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、展开式共有8项 B、展开式中的常数项是70 C、展开式中各项系数之和为0 D、展开式中的二项式系数之和为64

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10. 如图是导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递减 B、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值 D、函数 $y = f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值

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11. 袋中装有6个相同的小球，分别编号为1，2，3，4，5，6．从中不放回的随机抽取两个球， $A$ 表示事件“取出的两个球中至少有一个球的编号为奇数”， $B$ 表示事件“取出的两个球的编号之和为偶数”，则下列说法正确的是（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 不相互独立 B、事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥 C、在事件 $A$ 发生的前提下，事件 $B$ 发生的概率为 $\frac{1}{4}$ D、在事件 $B$ 发生的前提下，事件 $A$ 发生的概率为 $\frac{1}{2}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 从甲地去乙地有4班火车，从乙地去丙地有3班轮船，若从甲地去丙地必须经过乙地中转，则从甲地去丙地可选择的出行方式有种．

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13. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为．

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14. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - x$ ，若 $f (t^{2} + t) + f (3 t) < 0$ 成立，则实数 $t$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

15. 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 $ξ$ ， $η$ ，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数分别为7，8，9，10，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为 $2 a$ ， 0.2， $a$ ， 0.2，乙射中10，9，8，7环的概率分别为0.3，0.3， $b$ ， $b$ ，求 $ξ$ ， $η$ 的分布列．

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16. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 $A$ ， $B$ 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市 $n (n \in N^{*})$ 个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为 $\frac{5}{14}$ ．

(1)、在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率；

(2)、若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列．

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17. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{3}}{2} x^{2} - a l n x (a \neq 0)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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18. 已知函数 $f (x) = a (e^{x} - 1) - \frac{x}{a} (a \neq 0)$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $\forall x_{1} \in (0, + \infty)$ ， $x_{2} \in (0, + \infty) (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1}^{2} - x_{2}^{2}} > \frac{1}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} + a l n x (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = x - f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．
①求实数 $a$ 的取值范围；
②若 $x_{1} \in [\frac{1}{e}, 1)$ （ $e$ 为自然对数的底数，且 $e = 2.71828 ⋯$ ），求 $g (x_{1}) - g (x_{2})$ 的取值范围．

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$X$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$a$	$\frac{1}{3}$