广东省深圳市龙华区民治中学2023-2024学年七年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题目要求。

1. $42 °$ 的余角是（）

A、 $42 °$ B、 $48 °$ C、 $132 °$ D、 $138 °$

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2. 1986年9月，深圳市评选簕杜鹃为深圳市市花，簕杜鹃又名三角梅、九重葛。簕杜鹃属于紫茉莉科叶子花属的藤状灌木，具有旺盛的生命力和较长的花期，它的苞片大而美丽，颜色鲜艳，给人以奔放、热烈的感受。簕杜鹃的单粒的花粉粒直径约为 $0.000015 m$ ，数据0.000015用科学记数法表示为（）

A、 $1.5 \times 1 0^{- 5}$ B、 $1.5 \times 1 0^{- 6}$ C、 $15 \times 1 0^{- 6}$ D、 $15 \times 1 0^{- 7}$

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3. 如图，我们把剪刀的两边抽象成两条相交的直线，若 $∠ 1 = 40 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $40 °$ B、 $50 °$ C、 $100 °$ D、 $130 °$

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(- 3 a)}^{2} = - 6 a^{2}$ D、 $a^{2} \cdot {(- a)}^{2} = a^{4}$

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5. 若 $a + b = 6$ ， $a - b = 2$ ，则 $a^{2} - b^{2} =$ （）

A、3 B、4 C、12 D、36

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6. 如图，点 $P$ 处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段 $A B$ ，测得 $P A = 10 m$ ， $P B = 8 m$ ，则点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离可能为（）

A、 $10 m$ B、 $9 m$ C、 $8 m$ D、 $7 m$

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7. 下列实际情境中的变量关系可以用如图近似地刻画的是（）

A、匀速骑行的自行车（速度与时间的关系） B、篮球运动员投出去的篮球（高度与时间的关系） C、燃烧的蜡烛（蜡烛长度与时间的关系） D、早晨升旗仪式（国旗高度与时间的关系）

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8. 如图，已知直线 $a ∥ b$ ，现将含 $30 °$ 角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点分别落在两条直线上．若 $∠ 1 = 22 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $66 °$ B、 $68 °$ C、 $70 °$ D、 $72 °$

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9. 多项式 $(x + m) (x - n) = x^{2} + 6 x + 8$ ，则 $m - n =$ （）

A、6 B、 $- 6$ C、8 D、 $- 8$

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10. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，对角线 $A C = 5$ ，动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿 $C - A - D - C$ 运动．设点 $P$ 的运动路程为 $x (c m)$ ， $△ B C P$ 的面积为 $y (c m^{2})$ ．若 $y$ 与 $x$ 的对应关系如图所示．则图中 $a - b =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、3 D、4

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11. $3^{2} \times 3^{- 1} =$ ．

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12. 随着气温下降，人们开始增添衣服，在这个问题中，自变量是．

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13. 若 $x^{2} - 6 x + k$ 是一个完全平方式，则 $k =$ ．

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14. 如图， $∠ P$ 的两边被一张长方形纸片部分遮挡．若 $∠ l = 120 °$ ， $∠ 2 = 68 °$ ，则 $∠ P =$ ．

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15. 七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．小深先用一副七巧板拼成了图1，图1的轮廓是一个边长为 $a$ 的正方形，其中 $a^{2} = 8$ ，小等腰直角三角板 $M$ 的面积为 $\frac{1}{2}$ ，小深拿掉七巧板中的一块，又将剩下的六块拼成一个新的图形，其轮廓和 $M$ 板的位置如图2所示，则图2的面积为．

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三、解答题：本题共7小题，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 计算： ${(π - 3)}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{- 2} - {(\frac{1}{2})}^{2} \times {(- 2)}^{2}$ ；

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17. 小深在对多项式 $[{(2 a + b)}^{2} - 4 a (a + b) - 4 b^{2}] \div (- 2 b)$ “化简求值”的过程中，发现只需要知道字母 ▲ （填 $a$ 或 $b$ ）的取值就可以求出正确答案了，若这个字母等于3，请将这个多项式先化简，再求值．

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18. 如图1，点 $E$ 为 $∠ A B C$ 边 $B C$ 上一点，

(1)、利用直尺和圆规：过点 $E$ 作直线 $E F$ ，使 $E F ∥ A B$ ．（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法）

(2)、如图2，在（1）的前提下， $M$ 为 $E F$ 上一点，过 $M$ 作 $∠ F M N = ∠ B$ ，求证： $M N ∥ B C$ ．

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19. 某新型品牌充电器给手机充电时充电速度是匀速的，一台手机屏幕画面显示初始电量为 $20 %$ ，其电量 $y$ （单位： $%$ ）与充电时间 $x$ （单位：h）为表格中几组对应值．根据以上信息，回答下列问题：
充电时间 $x$ （单位：h）
0
0.25
0.5
$n$
1.5
电量 $y$ （单位： $%$ ）
20
$m$
40
60
80

(1)、 $m =$ ， $n =$ ；

(2)、该手机充电直至电量达到 $90 %$ 需要多久？

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20. 如图，正方形纸板 $A$ 的边长为 $a$ ，正方形纸板 $B$ 的边长为 $b$ ，用一块纸板 $A$ 、一块纸板 $B$ 和两块长方形纸板 $C$ 可以拼成一个大正方形．

(1)、图2大正方形的边长为；由图1到图2，可以得到一个关于 $a 、 b$ 的等式，直接写出这个等式：；

(2)、利用这个等式解决如下问题：长方形纸板 $C$ 的周长为12，正方形 $A$ 和正方形 $B$ 的面积之和为26，求长方形纸板 $C$ 的面积．

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21. 已知甲乙两地相距 $360 k m$ ，一辆轿车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车匀速沿同一条路线从乙地前往甲地，两车同时出发，经过 $\frac{8}{3} h$ 后两车第一次相遇．轿车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早一个小时到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离 $y (k m)$ 与货车行驶时间 $x (h)$ 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：

(1)、图中 $a$ 的值是；

(2)、求轿车到达乙地再返回甲地所花费的时间；

(3)、轿车在返回甲地的过程中与货车相距 $30 k m$ ，直接写出货车已经从乙地出发了多长时间？

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22. 【问题背景】光线照射到镜面会产生反射现象，小圳在做镜面反射实验时发现：当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．例如：在图1中，有 $∠ 1 = ∠ 2$ ．

(1)、【初步探究】如图2，设镜子AB与BC的夹角 $∠ A B C = α$ ，当 $α =$ 时，小圳发现入射光线EF与反射光线GH恰好平行．

(2)、【深入探究】如图3，小圳渐渐改变两镜面之间夹角，使得 $α$ 是一个锐角，从F点发出一条光线EF经过2次反射又回到了点F ，入射光线EF与第2次反射光线GF的夹角为 $∠ E F G$ ．用含 $α$ 的式子表示 $∠ E F G$ ．

(3)、【拓展应用】如图4，小圳继续改变两镜面之间夹角，使得 $α = 110 °$ ，若 $∠ B C D$ 也是一个钝角，入射光线EF与镜面AB的夹角 $∠ 1 = 30 °$ ．已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过3次反射，当第3次反射光线与入射光线EF平行时，求出 $∠ B C D$ 的度数．

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充电时间 $x$ （单位：h）	0	0.25	0.5	$n$	1.5
电量 $y$ （单位： $%$ ）	20	$m$	40	60	80