四川省眉山市仁寿县仁寿实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把相应题目的正确选项涂黑．

1. $\sqrt{1 - x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq 1$ B、 $x > 1$ C、 $x < 1$ D、 $x \leq 1$

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2. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6}$ B、 $2 + \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ C、 ${(1 + \sqrt{2})}^{2} = 3$ D、 $\sqrt{40} \div \sqrt{5} = 2 \sqrt{2}$

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3. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是(　　)

A、 $k < 1$ B、 $k \leq 1$ C、 $k > - 1$ D、 $k \leq - 1$

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4. “射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（）

A、确定事件 B、必然事件 C、不可能事件 D、不确定事件

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5. 某口罩厂十月份的口罩产量为 $100$ 万只，由于疫情得到控制，市场需求量减少，十二月份的产量减少到 $81$ 万只，设该厂十一、十二月份的口罩产量的月平均减少率为 $x$ ，则可列方程为(　　)

A、 $100 (1 - x)^{2} = 81$ B、 $81 (1 - x)^{2} = 100$ C、 $100 (1 + x)^{2} = 81$ D、 $100 + 100 (1 - x) + 100 (1 - x)^{2} = 81$

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6. 抛物线y＝x²的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（）

A、 $y = (x + 3)^{2} + 2$ B、 $y = (x + 3)^{2} - 2$ C、 $y = (x - 3)^{2} + 2$ D、 $y = (x - 3)^{2} - 2$

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7. 如图，已知在 $△ A B C$ ， $P$ 为 $A B$ 上一点，连结 $C P$ ，不能判断 $△ A B C ∽ △ A C P$ 的是（　　）

A、 $∠ A C P = ∠ B$ B、 $∠ A P C = ∠ A C B$ C、 $\frac{A C}{A P} = \frac{A B}{A C}$ D、 $\frac{A C}{A B} = \frac{C P}{B C}$

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8. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O ，且 $\frac{O E}{E A}$ ＝ $\frac{4}{3}$ ，则 $\frac{F G}{B C}$ ＝（　　）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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9. 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2.5，AC=3，则 $s i n A$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10. 如图， $D E$ 是 $△ A B C$ 的中位线，点 $F$ 在 $D B$ 上， $D F = 2 B F .$ 连接 $E F$ 并延长，与 $C B$ 的延长线相交于点 $M .$ 若 $B C = 6$ ，则线段 $C M$ 的长为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $7$ C、 $\frac{15}{2}$ D、 $8$

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11. 二次函数 $y = x^{2} - a x + b$ 的图象如图所示，对称轴为直线 $x = 1$ ，它的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，顶点为 $D$ ．且 $A (- 1, 0)$ ，则下列结论不正确的是(　　)

A、 $a = 2$ B、图象的顶点坐标D为(1，-4) C、当 $x < - 1$ 或 $x > 3$ 时，函数值 $y > 0$ D、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象经过点 $(- 1, 2)$ 且与x轴交点的横坐标分别为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，其中 $- 2 < x_{1} < - 1$ ， $0 < x_{2} < 1$ ，有下列结论：① $4 a - 2 b + c < 0$ ；② $2 a - b < 0$ ；③ $b^{2} + 8 a > 4 a c$ ；④ $a b c > 0$ ，其中正确的有（　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案直接填在答题卡相应的位置上．

13. 若 $\frac{a}{b}$ = $\frac{2}{5}$ ，则 $\frac{a + b}{b}$ = ．

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14. 已知二次函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} - 2} + 3 x - 3$ 的图象开口向下，则m的值是．

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15. 如图是边长为4的正方形ABCD ， E为BC的中点，连结AE ，作EF⊥AE交CD于F ，则CF=.

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16. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 4 x + 2 = 0$ 的两根，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ ．

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17. 在边长相等的小正方形组成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，那么 $c o s ∠ B A C$ 的值为．

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18. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 边的中点， $B E ⊥ A C$ 于点 $F$ ， $D G ⊥ A C$ 于 $G$ ，连接 $D F$ ，下列四个结论：① $△ A E F ∽ △ C A B$ ；② $A F =$ $\frac{1}{2}$ $A G$ ；③ $D F = D C$ ；④ $S_{四边形 C D E F} = \frac{5}{3} S_{△ A B F}$ ．其中正确的结论有．

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三、解答题：本大题共8个小题，共78分．

19. 计算： $\sqrt{12} - 2 s i n 60 ° + \sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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20. 已知关于x的方程x²+2mx+m²﹣1＝0．
①不解方程，判别方程根的情况；
②若方程有一个根为﹣1，求m的值．

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21. 如图， $B C 、 A D$ 相交于点E ，且 $A B ∥ C D$ ，

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ D C E$ ；

(2)、若 $A B = 2 ， C D = 3 ， A E = 1$ ，求 $A D$ 的长．

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22. 某学校在假期开展了“阳光阅读”活动，为了解学生的阅读情况，随机抽取部分学生进行阅读量的调查，阅读量分为四个类别：A.1~2本，B.3~4本，C.5~6本，D.6本以上，将调查结果进行统计，绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是．

(2)、请补全条形统计图；

(3)、在阅读量为D类别的4名学生中有正好有2名男生和2名女生，现从这4人中随机选取两人参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的两人恰好是1名男生和1名女生的概率．

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23. 在学校的数学学科周上，李老师指导学生测量学校旗杆 $A B$ 的高度．在旗杆附近有一个斜坡，坡长 $C D = 10$ 米，坡度 $i = 3 : 4$ ，小华在 $C$ 处测得旗杆顶端 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，在 $D$ 处测得旗杆顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ．求旗杆 $A B$ 的高度．(点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一平面内， $B$ ， $C$ 在同一水平线上，结果保留根号)

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24. 某商店将进价为 $8$ 元的商品按每件 $10$ 元售出，每天可售出 $200$ 件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高 $1$ 元，其销售量就减少 $20$ 件，问：

(1)、应将商品应涨价多少元，才能使每天的利润为 $640$ 元？

(2)、店主想要每天获得最大利润，请帮助店主确定商品应涨价多少元，并指出的最大利润 $W$ 为多少元？

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25. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE ，过顶点B作BF⊥DE ，垂足为F ， BF分别交AC于H ，交CD于G ．

(1)、求证：BG=DE；

(2)、若点G为CD的中点，求 $\frac{H G}{B G}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{H G}{G F}$ 的值．

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26. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴于点 $A (- 3, 0)$ 和点 $B$ ，交 $y$ 轴于点 $C (0, 3)$

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图 $a$ ，点 $P$ 是 $y$ 轴上一点，是否存在点 $P$ ，使 $△ A C P$ 是等腰三角形？若存在请直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)、如图 $b$ ，点 $D$ 是抛物线上且在直线 $A C$ 上方的一个动点，试求出 $△ A C D$ 面积的最大值及此时点 $D$ 的坐标．

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