安徽省合肥市2023-2024学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是（）

A、 $\sqrt{20}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{0.2}$

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2. 以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）

A、5，12，13 B、1，2，3 C、3，3，3 D、4，5，6

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3. 一个六边形的内角和等于（）

A、360° B、480° C、720° D、1080°

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} =3$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{10} \div \sqrt{5} =2$

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5. 将方程 $x^{2} + 2 x - 5 = 0$ 配方后，原方程变形（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 9$ B、 ${(x - 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 1)}^{2} = 6$ D、 ${(x - 1)}^{2} = 6$

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个根分别是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1}^{2} x_{2} + x_{1} x_{2}^{2}$ 的值是（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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7. 某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x ，下面所列方程正确的是（）

A、 $3 (1 + x)^{2} = 5$ B、 $3 x^{2} = 5$ C、 $3 (1 + x %)^{2} = 5$ D、 $3 (1 + x) + 3 (1 + x)^{2} = 5$

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8. $△ A B C$ 中 $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的对边分别是a、b、c ，下列命题中的假命题是（）

A、如果 $∠ C - ∠ B = ∠ A$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形． B、如果 $c^{2} = b^{2} - a^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形，且 $∠ C = 90 °$ ． C、如果 $(c + a) (c - a) = b^{2}$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形． D、如果 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 5 : 2 : 3$ ，则 $△ A B C$ 是直角三角形．

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9. 如图所示，是由北京国际数学家大会的会徽演化而成的图案，其主体部分是由一连串的等腰直角三角形依次连接而成，其中 $∠ M A_{1} A_{2} = ∠ M A_{2} A_{3} = \cdot \cdot \cdot = ∠ M A_{n} A_{n + 1} = 90 °$ ，（n为正整数），若M点的坐标是 $(- 1, 2)$ ， $A_{1}$ 的坐标是 $(0, 2)$ ，则 $A_{8}$ 的坐标为（）

A、 $(4, - 6)$ B、 $(6, - 8)$ C、 $(8, - 8)$ D、 $(7, - 6)$

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10. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 2 ∠ B$ ，若 $B C = \sqrt{21}$ ， $A B = 4$ ，则AC的长为（）

A、2.5 B、4 C、3 D、2.7

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二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 若二次根式 $\sqrt{3 + x}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 计算 $(\sqrt{7} + \sqrt{2}) (\sqrt{7} - \sqrt{2})$ 的结果是．

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13. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0 (a \neq 0)$ 的一个解是 $x = - 1$ ，那么代数式 $2024 + a - b$ 的值是．

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14. 已知n是正整数，且 $\sqrt{18 - n}$ 也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝．

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15. 《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题：
“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）

设木杆长 $x$ 尺，依题意，列方程是．

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16. 已知 $△ A B C$ 中，中线 $A D = 1$ ， $A B + A C = 2.5$ ， $B C = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是．

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三、解答题（本题共6小题，共52分）

17.

(1)、计算： $\sqrt{8} - \sqrt{3} \times \sqrt{6} + | 1 - \sqrt{2} |$ ；

(2)、解方程： $2 x (x + 3) = x^{2} + 8 x$ ．

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18. 如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形 $A B C$ ．

(1)、在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

(2)、在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；

(3)、在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m - 1) x + m + 2 = 0$ ．

(1)、若方程有两个相等的实数根，求 $m$ 的值；

(2)、若方程的两实数根之积等于 $m^{2} - 9 m + 2$ ，求 $m$ 的值．

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20. 某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是25元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是55元时，销售量是50件，而单价每降低1元，就可以多售4件．请你帮助分析，销售单价下降多少元时，可以获利1800元？

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21. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．

(1)、问几秒后△PBQ的面积等于8cm²？

(2)、是否存在这样的时刻，使=8cm² ，试说明理由．

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ D C B$ ，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O ，且 $B D$ 垂直平分 $A C$ ，过A点作 $A E ∥ C D$ 交 $B C$ 点E ．

(1)、求证： $A E = B C$ ；

(2)、若 $B E = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $E C$ 的长度．

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四、附加题：（本题5分，答对计入总分，但满分不超过100分）

23. 已知实数 $a b \neq 1$ 且分别满足方程 $7 a^{2} + 13 a + 1 = 0$ 和方程 $b^{2} + 13 b + 7 = 0$ ，则代数式 $\frac{a b + 3 a + 1}{b}$ 的值为．

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