湖北省荆门市京山市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）

1. 若 $\sqrt{5 - a}$ 在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　）

A、 $a > 5$ B、 $a < 5$ C、 $a \geq 5$ D、 $a \leq 5$

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2. 下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（）

A、3，3，5 B、4，5，6 C、6，8，10 D、 $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$

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3. 若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较小的内角是（　　）

A、60° B、90° C、120° D、45°

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4. 化简 $\sqrt{{(- 5)}^{2}}$ 的结果是(　　)

A、5 B、-5 C、±5 D、25

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5. 矩形ABCD中，AB=3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为（）

A、6 B、3 C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ C、 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ D、 $\sqrt{15}$

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7. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC ， AD⊥BF于点D ，点E为BC的中点，连接DE ，则DE的长是（）

A、0.5 B、0.75 C、1 D、2

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8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）

A、9 B、6 C、4 D、3

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9. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（）．

A、3种 B、4种 C、5种 D、6种

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10. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠后点 $D$ 与 $B$ 重合.若原矩形的长宽之比为 $3 : 1$ ，则 $\frac{A E}{B F}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11. 写出一个比3小的正无理数．

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12. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是.

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13. 如图，从一个大正方形裁去面积为15cm²和24cm²的两个小正方形，则留下的部分的面积为cm².

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14. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为

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15. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A D = 2 A B, F$ 是 $A D$ 的中点，作 $C E ⊥ A B$ ，垂足 $E$ 在线段 $A B$ 上，连接 $E F$ 、 $C F$ ，则下列结论中：① $∠ D C F = \frac{1}{2} ∠ B C D$ ；② $E F = C F$ ；③ $S_{△ B E C} > 2 S_{△ C E F}$ ；④ $∠ D F E = 3 ∠ A E F$ ．一定成立的是．（只填序号）．

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三、解答题（本题共8小题，共72分）

16. 计算

(1)、 $2 \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 3 \sqrt{48}$

(2)、 $\sqrt{27} \times \sqrt{50} \div \sqrt{6}$

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17. 如图，小明为了测得学校旗杆 $A B$ 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面 $C$ 点，此时， $C$ 点到杆底 $B$ 点距离 $12 m$ ，他又将旗绳拉直到杆底部 $B$ 点，此时，绳子多出一截 $B P$ ，量得多出部分长度为 $4 m$ ，请你帮他计算出旗杆的高度．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $C D$ 的中点．求证：四边形 $A E C F$ 是平行四边形．

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19. 如图，菱形花坛 $A B C D$ 的边长为 $20 m$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，沿着菱形的对角线修建两条小路 $A C$ 和 $B D$ ．

(1)、求 $A C$ 和 $B D$ 的长；

(2)、求菱形花坛 $A B C D$ 的面积．

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20. 如图，每个小正方形的边长都为1

(1)、求四边形 $A B C D$ 面积与周长；

(2)、 $∠ B C D$ 是直角吗？

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21. 已知正六边形 $A B C D E F$ ，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)、在图1中，画出一个以BD为边的等边三角形；

(2)、在图2中，画出一个以CD为边的矩形；

(3)、在图3中，画出一个以BC为边的菱形；

(4)、在图4中，画出一个以AB为边的平行四边形（非矩形、非菱形）．

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22. 阅读材料：
我国南宋数学家秦九韶（约1202—1261）在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S= $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]} \dots . .$ ． ①（其中 $S$ 为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长）．而古希腊的几何学家海伦（Heron ，约公元50年），在《度量》中也有求三角形面积的“海伦公式”： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)} \dots \dots$ ②（其中S为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边长， $p$ 为半周长，即 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ）．
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”．
解答问题：

(1)、若在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 5, B C = 6, C A = 7$ ，试分别运用公式①和公式②计算 $△ A B C$ 的面积；

(2)、请你写出由公式①推导出公式②的过程；

(3)、计算（1）中 $△ A B C$ 的BC边上的高．

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23. 已知 $△ A C B$ 和 $△ E C D$ 都是等腰直角三角形， $C A = C B, C E = C D,$ $∠ A C B = ∠ E C D = 90 °, △ A C B$ 的顶点 $A$ 在 $△ E C D$ 的斜边 $D E$ 上．

(1)、如图1，连接 $B D$ ．
①请你探究 $A E$ 与 $B D$ 之间的关系，并证明你的结论；
②求证： $A E^{2} + A D^{2} = 2 A C^{2}$ ．

(2)、如图2，若 $A E = 2, A C = 2 \sqrt{5}$ ，点F是 $A D$ 的中点，求 $C F$ 的长．

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线交边 $B C$ 于点 $E$ ，交边 $D C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、如图1，求证： $C E = C F$ ；

(2)、如图2，若 $∠ A B C = 90 °, G$ 是 $E F$ 的中点，分别连结 $C G ， B G ， D G$ ，求证： $D G ⊥ B G$ ；

(3)、如图3，若 $∠ A B C = 120 °$ ，四边形 $C F G E$ 为平行四边形，分别连结 $D B ， D G$ ，试判断 $△ B D G$ 的形状并证明．

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