湖南省张家界市永定区2023-2024学年七年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2024-05-08 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．请将正确答案的字母代号填在下表中．）

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ C、 ${(a b)}^{2} = a^{2} b^{2}$ D、 $a^{6} + a^{3} = a^{2}$

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2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）

A、 $a^{2} b + a b^{2} = a b (a + b)$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = x (x + 2) + 1$ C、 $x (x - y) = x^{2} - x y$ D、 $(x + 4) (x - 4) = x^{2} - 16$

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3. 下列各式中，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(x + y) (x + y)$ B、 $(x - y) (x - y)$ C、 $(x + y) (- x - y)$ D、 $(x + y) (y - x)$

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4. 已知 $x^{2} + k x + 49$ 是完全平方式，则常数k可以取（）

A、 $\pm 70$ B、 $\pm 140$ C、 $\pm 14$ D、 $\pm 4900$

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5. 把 $4 x y^{2} + 2 x y$ 分解因式，应提取的公因式是（）

A、 $2 x$ B、 $x y$ C、 $2 x y$ D、 $x y^{2}$

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6. 计算 ${(- 0.125)}^{2020} \times {(2)}^{6060}$ 的结果是（）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $8$ D、 $- 8$

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7. 已知光在真空中的速度大约为3×10⁸m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×10²s，则地球与太阳的距离大约是（）

A、0.6×10⁶m B、6×10⁵m C、15×10¹⁰m D、1.5×10¹¹m

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8. 解方程组① ${\begin{array}{l} x = 2 y + 1 \\ 6 x - 5 y = 13 \end{array}$ 和方程组② ${\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 10 \\ 2 x - 3 y = - 2 \end{array}$ ，比较简便的方法是（）

A、均用代入法 B、均用加减法 C、①用代入法，②用加减法 D、①用加减法，②用代入

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9. 我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙说得甲九只，两家之数相当，二人闲坐恼心肠，画地算了半晌”其大意为：甲，乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同．请问甲，乙各有多少只羊？设甲有羊x只，乙有羊y只，根据题意列方程组正确的为（　　）

A、 ${\begin{array}{l} 2 x + 9 y = y - 9 \\ x - 9 = 2 y - 9 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + 9 = 2 y - 9 \\ 2 x - 9 = y + 9 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 2 (x + 9) = y - 9 \\ x - 9 = y + 9 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + 9 = 2 (y - 9) \\ x - 9 = y + 9 \end{array}$

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10. 如图是一个由5张纸片拼成的一个大长方形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张大正方形纸片大小一样，面积记为S₁ ，另外两张长方形纸片大小一样，面积记为S₂ ，中间一张小正方形纸片的面积记为S₃ ，则这个大长方形的面积一定可以表示为（）

A、 $3 S_{1} + S_{2}$ B、 $S_{1} + 4 S_{2}$ C、 $4 S_{1}$ D、 $4 S_{2}$

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二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

11. 计算： ${(- 3 a b^{2})}^{2} =$ ．

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12. 若 $2^{m} = 3$ ， $2^{n} = 2$ ，则 $2^{m + n} =$ ．

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13. 已知a ， b满足 ${\begin{array}{l} a + 5 b = 15 \\ 3 a - b = - 3 \end{array}$ ，则 $a + b =$ ．

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14. 已知 $x^{| m | - 1} + (m + 2) y = 7$ 是关于x ， y的二元一次方程，则 $m =$ ．

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15. 比较 $2^{55}$ 与 $3^{44}$ 的大小关系是（填“ $>$ ”、“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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16. 计算 $(2 m + 1) (2 m - 1) - 4 m^{2}$ 的结果等于．

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17. 已知方程组 ${\begin{array}{l} x - 2 y = - 1 \\ x + 2 y = n \end{array}$ 和 ${\begin{array}{l} x + y = m \\ x - y = 2 \end{array}$ 的解相同，则 $2 n - m =$ ．

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18. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是．

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三、解答题（共66分）

19. 解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} y = 2 x - 1 \\ x + 2 y = - 7 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} \frac{x - 2}{6} - \frac{2 - y}{3} = \frac{1}{2} \\ x - 2 y = 1 \end{array}$

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20. 计算：

(1)、 $2 x^{3} \cdot (- x)^{2} - {(- x^{2})}^{2} \cdot (- 3 x)$

(2)、 $(x + 5) (x - 1) + (x - 2)^{2}$

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21. 把下列各式分解因式：

(1)、 $24 a^{2} b - 18 a b^{2}$ ；

(2)、 $m (a - 3) + 2 m^{2} (3 - a)$ ，

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22. 水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫，某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准为 $10 m^{3}$ ，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2023年两个月的收费表：
请问该城市居民标准内用水及超标用水的价格是如何制定的？
时间
用水量/ $m^{3}$
费用/元
11月
15
35
12月
18
44

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23. 用4个全等的长和宽分别为 $a, b$ 的长方形拼摆成一个如图的正方形．

(1)、请用含有a、b字母的代数式来表示阴影部分面积，并写出三个代数式 $(a + b)^{2},$ $(a - b)^{2}, a b$ 之间的等量关系；

(2)、根据（1）中你探索发现的结论，计算：当 $x + y = 3, x y = - 10$ 时，求 $x - y$ 的值．

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24. 已知代数式： ${(m - 1)}^{2} + (m + n) (m - n) + n^{2}$ ．

(1)、化简这个代数式．

(2)、若 $m^{2} - m - 3 = 0$ ，求原代数式的值．

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25. 上数学课时，王老师在讲完乘法公式 $(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$ 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 $x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解： $x^{2} + 4 x + 5 = x^{2} + 4 x + 4 + 1 = (x + 2)^{2} + 1$
$∵ (x + 2)^{2} \geq 0$ ，
$∴$ 当 $x = - 2$ 时， $(x + 2)^{2}$ 的值最小，最小值是0，
$∴ (x + 2)^{2} + 1 \geq 1$
$∴$ 当 $(x + 2)^{2} = 0$ 时， $(x + 2)^{2} + 1$ 的值最小，最小值是1，
$∴ x^{2} + 4 x + 5$ 的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题

(1)、当 $x$ 等于多少时，代数式 $x^{2} - 6 x + 12$ 有最小值，最小值是多少．

(2)、请判断 $- x^{2} + 2 x - 3$ 有最大值还是最小值；这个值是多少？此时 $x$ 等于哪个数？

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26. 某商店拟购进A ， B两种品牌电风扇进行销售．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需400元．

(1)、A ， B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？

(2)、销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为180元/台，B种品牌电风扇定价为250元/台，商店拟用1000元购进这两种品牌电风扇（1000元刚好全部用完，且两种品牌电风扇都购进）．为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？

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时间	用水量/ $m^{3}$	费用/元
11月	15	35
12月	18	44